10 bài toán đại số thực tế thử trí thông minh

Đại số là một phân nhánh lớn của toán học song song với nó là số học, hình học và giải tích

Trong muôn vàn những bài toán Đại số thì những bài toán Đại số thực tế là dạng toán được chú ý nhiều nhất. Nó được chú ý mà bởi vì nó hay nó hấp dẫn và đặc biệt nó thường xuất hiện trong các kì thi quan trọng trong đó có cả thi Trung học Phổ thông Quốc Gia

Mình đã cất công chọn lọc, sưu tầm và biên tập lại để giới thiệu để ngày hôm này có thể “xuất bản” và giới thiệu nó đến với tất cả các bạn

Nó ở đây chính là 10 bài toán đại số thực tế thử trí thông minh

Trong bài viết này ngoài những dạng toán Đại số thực tế còn có những dạng toán khác như toán cổ, Đại số và Số học, vài nét về lịch sử …

Tỉ lệ khi pha trộn

Tú được giao một nhiệm vụ như sau pha một lượng du dịch có nồng độ 5\% muối với một lượng dung dịch có nồng độ 30\% muối để được hỗn hợp có nồng độ 20\% muối

Tú cần pha hai dung dịch trên với tỉ lệ nào? Bạn hãy giúp Tú giải quyết bài toán

Đáp án

Gọi lượng dung dịch có nồng độ muối 5\%30\% theo thứ tự là x gam và y gam với x>0, y>0

Ta có \dfrac{5}{100} x+\dfrac{30}{100} y=\dfrac{20}{100}(x+y)

\Leftrightarrow 5 x+30 y=20(x+y) \Leftrightarrow(30-20) y=(20-5) x

\Leftrightarrow \dfrac{x}{y}=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}

Tỉ lệ khối lượng dung dịch có nồng độ muối 5\%30\% cần pha với nhau là \dfrac{2}{3}

Trong thực hành ta thường viết theo sơ đồ sau

Bài toán Đại số thực tế

Tổng quát tỉ lệ khối lượng các dung dịch có nồng độ a\%b\% cần pha với nhau để được hỗn hợp có nồng độ c\%\dfrac{|c-b|}{|c-a|} với c \neq a, c \neq b

Bông sen trên hồ

Bài toán của Bát-xca-ra nhà toán học Ấn Độ

Cành sen nhỏ mọc trong hồ nước

Bông sen tròn nửa thước nhô lên

Bỗng đâu gió thổi sang bên

Bông hoa dạt xuống nằm trên mặt hồ

Cách cành cũ được vừa hai thước

Cứ sát theo mặt nước mà đo

Nhờ ai thạo tính giúp cho

Hồ sâu mấy thước, lí do thế nào?

Đáp án

Bài toán Đại số thực tế

Gọi độ sâu của hồ là BC=x thước, phần cây sen nhô lên mặt hồ là AB=0,5 thước

Khi bông sen dạt xuống đến vị trí D ta có CD=AC=x+0,5 thước

Tam giác CBD vuông tại B nên BC^2+BD^2=CD^2

Do đó x^2+2^2=(x+0,5)^2

Giải phương trình trên ta được x=3,75

Vậy hồ nước sâu 3,75 thước

Cách giải đại số giúp tìm ra cách giải số học

Việt đi từ A và đã đến B gặp bạn đúng giờ hẹn

Nếu tôi đi với vận tốc ít hơn vận tốc đã đi 6~km/h thì sẽ đến B sau giờ hẹn 2 giờ. Còn nếu tôi đi với vận tốc nhiều hơn vận tốc đã đi 10~km/h thì sẽ đến B trước giờ hẹn 2 giờ
Việt

Bạn hãy tính thời gian Việt đã đi quãng đường AB

Đáp án

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi vận tốc Việt đã đi quãng đường ABv~km/h và thời gian đã đi quãng đường ABt giờ

Trong trường hợp thứ nhất vận tốc là v-6~km/h và thời gian là t+2 giờ

Ta có phương trình (v-6)(t+2)=v t

Trong trường hợp thứ hai vận tốc là v+10~km/h và thời gian là t-2 giờ

Ta có phương trình (v+10)(t-2)=vt

Giải hệ phương trình

\left\{\begin{array}{l}(v-6)(t+2)=v t \\ (v+10)(t-2)=v t\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}vt+2 v-6 t-12=vt \\ vt-2 v+10 t-20=vt\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 v-6 t=12 \\ -2 v+10 t=20\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 t=32 \\ v-3 t=6\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}v=30 \\ t=8\end{array}\right.

Vậy thời gian Việt đi quãng đường AB8 giờ

Tìm cách giải số học cho bài toán

Để tìm ra cách giải bài toán trên bằng phương pháp số học ta thực hiện các biến đổi đại số khác với cách giải trên đôi chút

Cách giải đại sốCách giải số học
Gọi vận tốc Việt đã đi đoạn ABv~km/h và thời gian Việt đã đi ABt giờ
Gọi vận tốc và thời gian đi trong trường hợp thứ nhất là v_1t_1
Gọi vận tốc và thời gian đi trong trường hợp thứ nhất là v_2t_2
Giả sử có xe 1 và xe 2 cùng đi từ A với thời gian bằng thời gian Việt đã đi đoạn AB
Ta có
v t=v_{1} t_{1}=v_{2} t_{2}, v-v_{1}=6, v_{2}-v=10
t_{1}-t=2, t-t_{2}=2
v_{1} t_{1}=v t \Rightarrow v_{1}(t+2)=v t \Rightarrow v_{1} t+2 v_{1}=v t~(1)
v_{2} t_{2}=v t \Rightarrow v_{2}(t-2)=vt \Rightarrow v_{2} t-2 v_{2}=vt~(2)
Xe 1 đi chậm hơn Việt 6~km/h
Xe 2 đi nhanh hơn Việt 10~km/h

Khi Việt đi đoạn AB thì xe 1 đi đoạn AC, xe 2 đi đoạn AD
Xe 1 đi tiếp đoạn CB cần 2 giờ
Xe 2 đi tiếp đoạn BD cần 2 giờ   
Ta có
v_{2}-v_{1}=\left(v_{2}-v\right)+\left(v-v_{1}\right)=10+6=16 nên 2\left(v_{2}-v_{1}\right)=2.16=32~(3)
Do vận tốc xe 2 lớn hơn vận tốc xe 110+6=16~km/h nên đoạn BD dài hơn đoạn CB16.2=32~km
Từ (1) suy ra
2 v_{1}=\left(v-v_{1}\right) t=6 t~(4)
Từ (2) suy ra
2 v_{2}=\left(v_{2}-v\right) t=10 t~(5)
Giả sử cũng đi với thời gian Việt đi đoạn AB có xe 3 đi đoạn CB và xe 4 đi đoạn BD thì
Vận tốc xe 3 bằng 6~km/h
Vận tốc xe 4 bằng 10~km/h
Từ (4)(5) suy ra
2 v_{2}-2 v_{1}=10 t-6 t \Rightarrow 2\left(v_{2}-v_{1}\right)=4 t~(6)
Vận tốc xe 4 đi BD lớn hơn vận tốc xe 3 đi CB10-6=4~km/h
Từ (3)(6) suy ra
4 t=32 \Rightarrow t=\dfrac{32}{4}=8
Vậy thời gian xe 3 đi CB cũng là thời gian xe 4 đi BD cũng là thời gian Việt đi AB32:4=8 giờ

Vậy thời gian Việt đã đi đoạn AB8 giờ

Để tìm ra cách giải số học cần tạo ra các đại lượng tương ứng với các biểu thức đại số và sử dụng phương pháp giả thuyết tạm

– Tạo ra xe 1 và xe 2 có vận tốc tương ứng với trường hợp 1 và trường hợp 2 nhưng đi với thời gian bằng thời gian t mà Việt đi đoạn AB

– Có sự tương ứng A B=v t, A C=v_{1} t, A D=v_{2} t, C B=2 v_{1}, B D=2 v_{2}, {BD}-{CB}=2\left({v}_{2}-{v}_{1}\right)

– Tạo ra xe 3 đi đoạn CB xe 4 đi đoạn BD cũng với thời gian t nói trên. Từ đó tính thời gian t bằng cách lấy hiệu quãng đường BDCB mà xe 4 và xe 3 đã đi là 32~km/h chia cho hiệu vận tốc của hai xe đó là 10-6=4~km/h

– Trong biến đổi đại số cần giảm bớt các biến đổi trung gian và giữ lại những biểu thức liên quan đến các số liệu trong đề bài để dễ tạo ra sự tương ứng với cách giải số học

Cuộc thi giải phương trình bậc ba ở I-ta-li-a thế kỉ XVI

Có lẽ chưa đâu trên thế giới có một cuộc thi như cuộc thi đã diễn ra ở I-ta-li-a vào ngày 22-2-1535

Các nhà Toán học và những người hâm mộ không chỉ ở I-ta-li-a mà còn ở nhiều nước châu Âu đã kéo đến hội trường ở thành phố Mi-lan chật kín cả bên trong và bên ngoài

Bên thánh đấu là các học trò của nhà Toán học Fe-rô còn bên kia là nhà Toán học Tac-ta-li-a. Mỗi bên ra cho đối phương 30 đề toán giải phương trình bậc ba làm trong hai giờ. Và kết quả thật khó tin Tac-ta-li-a đã thắng với tỉ số 30-0 tức là ông đã làm hết tất cả 30 bài toán mà đối phương đưa ra còn đối phương thì không giải được một bài toán nào của ông

Sở dĩ Tac-ta-li-a đã giành chiến thắng tuyệt đối vì rất may cho ông chỉ 8 ngày trước khi diễn ra trận so tài ông đã tìm ra cách giải phương trình bậc ba dạng x^3+ax+b=0 với a, b bất kì trong khi học các học trò của Fe-rô chỉ mới biết giải phương trình x^3+ax=b với ab là các số dương

Lưu ý

Phương trình bậc ba nào cũng dễ dàng đưa về dạng y^{3}+m y^{2}+n y+c=0 sau đo bằng cách đặt y=x-\dfrac{m}{3} đưa về dạng x^{3}+a x+b=0

Chẳng hạn với phương trình y^{3}+6 y^{2}+8 y-315=0 bằng cách đặt y=x-2 ta được phương trình x^{3}-4 x-315=0

Bài toán của Bát-xca-ra

Tìm các cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết rằng số đo cạnh huyền và số đo diện tích biểu thị bởi cùng một số

Đáp án

Gọi xy là độ dài các cạnh góc vuông thì độ dài cạnh huyền bằng \sqrt{x^2+y^2} và diện tích bằng \dfrac{xy}{2}. Ta có phương trình

\dfrac{x y}{2}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \Leftrightarrow x y=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}

\Leftrightarrow x^{2} y^{2}=4\left(x^{2}+y^{2}\right) \Leftrightarrow x^{2}\left(y^{2}-4\right)=4 y^{2} \Leftrightarrow x^{2}=\dfrac{4 y^{2}}{y^{2}-4}

Bài toán có vô số đáp số là \left(\dfrac{2 y}{\sqrt{y^{2}-4}} ; y\right) với y tùy ý lớn hơn 2

Chẳng hạn với y=\sqrt{6} ta có x=2\sqrt{3}

Vì sao thừa nghiệm

Bạn Thu phải giải phương trình \sqrt[3]{2 x-3}+\sqrt[3]{x-2}=1~(1)

Bạn đã giải như sau

Lập phương hai vế của (1) ta được

(1)~\Leftrightarrow(2 x-3)+(x-2)+3 \sqrt[3]{(x-2)(2 x-3)} .(\sqrt[3]{2 x-3}+\sqrt[3]{x-2})=1~(2)

Thay \sqrt[3]{2 x-3}+\sqrt[3]{x-2} bởi 1 vào (2) được

(2)~\Leftrightarrow 3 x-5+3 \sqrt[3]{(x-2)(2 x-3)}=1~(3)

\Leftrightarrow 3 \sqrt[3]{(x-2)(2 x-3)}=6-3 x \Leftrightarrow \sqrt[3]{(x-2)(2 x-3)}=2-x

\Leftrightarrow(x-2)(2 x-3)=(2-x)^{3} \Leftrightarrow(x-2)(x-1)^{2}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=2\end{array}\right.

Nhưng thay x=1 vào (1) lại được -2=1!

Thu không hiểu tại sao lại như vậy bạn hãy giải thích giúp

Đáp án

Tất cả các phép biến đổi trên đều là tương đương trừ phép biến đổi (2) \Leftrightarrow (3)

Ta chỉ có (2) \Rightarrow (3). Khi thay \sqrt[3]{2x-3}+ \sqrt[3]{x-2} bởi 1 đã xuất hiện nghiệm ngoại lai x=1

Do đó sau khi tìm được x=1x=2 phải thử vào (1) để chọn x=2 và loại x=1. Phương trình (1) có nghiệm là x=2

Cô-si và Bu-ni-a-cốp-xki

Cô-si là nhà Toán học pháp viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Pa-ri

Ông có trên 800 công trình nghiên cứu về nhiều lĩnh vực như Số học, Đại số, Giải tích, Cơ học, Quang học và Thiên văn học. Ông đã xây dựng nhiều vấn đề lí thuyết một cách chặt chẽ, khoa học, giúp cho Toán học có những bước tiến đáng kể

Bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân của n số không âm là

\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{n}}

Bất đẳng thức trên cũng được gọi là bất đẳng thức Cô-si vì Cô-si đã đưa ra một cách chứng minh độc đáo mặc dù ông không phải là người đầu tiên đề xuất bất đẳng thức này

Bu-nhi-a-cốp-xki là nhà Toán học Nga, Phó Chủ tịch Viện Hàn lâm khoa học Pê-tec-bua. Ông học toán tại Pa-ri và là học trò của Cô-si

Ông có 128 công trình về Lí thuyết số, Lí thuyết xác suất, Giải tích, Hình học và Đại số. Ông có nhiều đóng góp nâng cao trình độ khoa học trong giảng dạy toán học ở các trường đại học và trung học. Để ghi nhớ công lao của ông với nền giáo dục Nga. Năm 1975 một giải thưởng mang tên ông được lập ra để trao cho những sáng tạo về toán

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với hai bộ số \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}\right) \geq\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}\right)^{2}

Bất đẳng thức trên được gọi là bất đẳng thức Cô-si – Bu-nhi-a-cốp-xki – Svac vì Cô-si đã đề xuất bất đẳng thức đó, Bu-nhi-a-cốp-xki đã mở rộng kết quả cho tích phân và Svac mở rộng kết quả trên cho không gian vec-tơ

Khu đất nhốt gia súc

Bác Tâm có một cuộn lưới sắt dài 60~m. Bác muốn dùng lưới căng thành ba đoạn thẳng AB, BC, CD cùng với bức tường có sẵn làm thành một hình chữ nhật ABCD để nhốt gia súc

Hãy tính độ dài AB để khu đất hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nhất

Đáp án

Đặt AB=CD=x mét thì BC=60-2x

Diện tích S của hình chữ nhật ABCD bằng

S=x(60-2 x)=-2 x^{2}+60 x=-2\left(x^{2}-30 x\right)

=-2\left(x^{2}-30 x+225\right)+450=-2(x-15)^{2}+450 \leq 450

\max S=450 \Leftrightarrow x=15

Độ dài AB=15~m khi đó khu đất có diện tích lớn nhất là 450~m^2

Chia nhanh

Vinh cần làm phép chia 1:1,03 và làm tròn đến hàng phần trăm. Vinh đang loay hoay tính toán vì không có máy tính bỏ túi trong tay

Bạn chỉ cần lấy 1 trừ đi 0,03 là được! (0,03 là phần hơn của số chia so với 1)

Vinh rất ngạc nhiên khi sau đó kiểm tra lại bằng máy tính 1: 1,03=0,9708 \ldots \approx 0,97(=1-0,03)

Vinh thử một vài trường hợp khác cũng thấy đúng

1: 1,04=0,9615 \ldots \approx 0,96

1: 1,07=0,9345 \ldots \approx 0,93

a) Bạn hãy giải thích đều đó

b) Có phải kết quả tính theo cách trên luôn nhỏ hơn kết quả đúng hay không?

Đáp án

a) Giả sử cần tính \dfrac{1}{1+a} trong đó a rất nhỏ so với 1

Khi 1=1-a^{2} đó nên \dfrac{1}{1+a} \approx \dfrac{1-a^{2}}{1+a}=1-a

b) Do 1>1-a^{2} nên \dfrac{1}{1+a}>\dfrac{1-a^{2}}{1+a}=1-a

Vậy kết quả tính được theo cách trên luôn nhỏ hơn kết quả là đúng

Chứng minh bất đẳng thức bằng hình học

Xuân đố Mai chứng minh bất đẳng thức sau bằng hình học

\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1} \leq \sqrt{a b}

Mai chưa tìm ra cách làm bạn hãy giúp Mai

Đáp án

Kẻ đường vuông góc CH=1 và các đường xiên CA=\sqrt{a}, CB=\sqrt{b} với H nằm giữa AB

Bài toán Đại số thực tế

Khi đó {HA}=\sqrt{{a}-1}, {HB}=\sqrt{{b}-1}

Ta có AB.CH=2 S_{ABC} \leq CA .CB

\Rightarrow(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}) . 1 \leq \sqrt{a} . \sqrt{b}

\Rightarrow \sqrt{a-1}+\sqrt{b-1} \leq \sqrt{a b}

Xin cảm ơn vì bạn đã bỏ thời gian để đọc bài viết của mình và tuyệt vời hơn khi bạn còn đọc đến tận đây. Bài viết này là một trong những bài viết dài nhất trên https://jhsmath.com với gần 2500 từ

Ngoài 10 bài toán Đại số thực tế thử trí thông minh bạn có thể xem thêm 10 bài toán Số học thực tế thử trí thông minh tại đây