10 bài toán số học thực tế thử trí thông minh

Toán học của chúng ta hiện tại được chia thành khá nhiều nhánh như Số học, Đại số, Hình học, Giải tích …

Số học là phân nhánh Toán học lâu đời nhất và sơ cấp nhất. Được hầu hết mọi người thường xuyên sử dụng từ những công việc thường nhật đến những công việc hàn lâm

Trong những bài toán Số học thì những bài toán Số học thực tế là được yêu thích nhiều nhất. Chính vì vậy mà mình đã chọn lọc, sưu tầm và biên tập lại để cho ra đời bài viết này

Tiêu đề bài viết là 10 bài toán số học thực tế thử trí thông minh nhưng không phải tất cả 10 đều là toán thực tế mà đan xen vào đó là một số nét về lịch sử Toán học chẳng hạn như Ơ-le và số nguyên tố, Người chứng minh định lí Phéc-ma cuối cùng …

Nào! Ngay bây giờ chung ta hãy cùng bắt đầu

Tìm điểm của từng người

Năm bạn Ánh, Bích, Cao, Dũng và Hòa chơi một trò chơi được số điểm xếp từ nhỏ đến lớn là 23, 25, 36, 37, 50

Bạn hãy tính điểm của từng người biết rằng

– Tổng điểm của Ánh, Bích, Cao gấp ba số điểm của Dũng (1)

– Điểm của Bích là một số lẻ (2)

– Ánh nhiều điểm hơn Cao (3)

Đáp án

Do (1) nên tổng số điểm của bốn bạn Ánh, Bích, Cao, Dũng gấp bốn số điểm của Dũng nên là số chia hết cho 4

Tổng số điểm của năm bạn là 23+25+36+37+50=171 là số chia cho 43

Suy ra

– Số điểm của Hòa chia cho 43 đó là 23

– Số điểm của Dũng là (171-23):4=37

– Số điểm của Ánh, Bích, Cao thuộc tập hợp \{25, 36, 50\}

Do (2) nên Bích được 25 điểm

Do (3) nên Ánh được 50 điểm và Cao được 36 điểm

Vậy Ánh được 50 điểm, Bích được 25 điểm, Cao được 36 điểm, Dũng được 37 điểm và Hòa được 23 điểm

Xem thêm Bội và ước của một số nguyên

Ơ-le và số nguyên tố

Ơ-le là nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sĩ nhưng cuộc đời ông và cả con cháu ông gắn bó với nước Nga

Ông đã nghiên cứu từ những kiến thức rất sơ cấp chẳng hạn đường tròn Ơ-le đến những khái niệm cao siêu của những tiến bộ khoa học ở thời đại ông

Ông nghiên cứu về cơ học, lí luận âm nhạc, lí thuyết về bản đồ địa lí và khoa học hàng hải. Ông đã đặt cơ sở cho rất nhiều ngành Toán lí thuyết

Chúng ta kể ra ở đây một số bài toán về số nguyên tố liên quan đến Ơ-le

Bài toán 1 Ơ-le đưa ra ví dụ một biểu thức cho giá trị là số nguyên tố với 40 giá trị liên tiếp của n từ 0 đến 39 đó là biểu thức n^2+n+41

Bài toán 2 Nhà toán học Pháp Phéc-ma xét biểu thức 2^{2^n}+1 với n bằng 0, 1, 2, 3, 4 cho các số nguyên tố 2+1=3, 2^2+1=5, 2^4+1=17, 2^8+1=2572^{16}+1=65~537

Ông đưa ra giả thuyết 2^{2^n}+1 cho số nguyên tố với mọi số tự nhiên n. Ý kiến này đứng vững rất lâu một thế kỉ sau, Ơ-le đã bác bỏ giả thuyết trên bằng cách chỉ ra số 2^{32}+1 chia hết cho 641

Bài toán 3 Năm 1742 nhà toán học Đức Gôn-bách nói rằng ông đã “mạo hiểm” đưa ra dự đoán

Mọi số tự nhiên lớn hơn 5 đều biểu diễn được dưới dạng tổng của ba số nguyên tố
Gôn-bách

Trong thư trả lời Ơ-le đưa ra bài toán

Mọi số chẳng lớn hơn 2 đều biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số nguyên tố
Ơ-le

Cho đến này người ta vẫn chưa chứng minh được hai bài toán trên

Bài toán điền chữ số

Chi đố Hoàng tìm các số trong phép cộng sau

Sẽ phải xét mười trường hợp d từ 0 đến 9
Hoàng
Không cần! Bạn hãy chú ý đến quan hệ giữa hai số hạng
Chi

Hoàng đã tìm ra cách giải mà không cần tìm từng chữ số. Hoàng đã giải thế nào

Đáp án

Số hạng thứ nhất gấp 10 lần số hạng thứ hai nên tổng gấp 11 lần số hạng thứ hai. \overline{4791h}~\vdots~11 \Rightarrow 47910+h~\vdots~11 \Rightarrow 11.4355+(5+h)~\vdots~11 \Rightarrow h=6

Số hạng thứ hai là 47916:11=4356

Ta có

Có bao nhiêu hình vuông

An đố Bảo tìm được số hình vuông 4 \times 4

Dễ quá! Có 4 \times 4 =16 hình vuông
Bảo

Chưa đúng! Đó mới là các hình vuông cạnh 1. Còn có các hình vuông cạnh 2, cạnh 3 và cạnh 4 nửa
An

À đúng để tớ nghĩ thêm
Bảo

Bảo đã tìm ra đáp số là tổng của bốn số chính phương đầu tiên kể từ 1 đó là 1^2+2^2+3^2+4^2=30

Bạn có đồng ý với Bảo không

Đáp án

Trên dòng nằm ngang

– Có 1 cách chọn đoạn thẳng có độ dài 4AE

– Có 2 cách chọn đoạn thẳng có độ dài là 3AD, BE

– Có 3 cách chọn đoạn thẳng có độ dài là 2AC, BD, CE

– Có 4 cách chọn đoạn thẳng có độ dài là 1AB, BC, CD, DE

Trên cột thẳng đứng cũng tương tự

Do đó số hình vuông có tất cả là 1^2+2^2+3^2+4^2=30

Lưu ý

Cho hình vuông n \times n. Số hình vuông có tất cả là 1^2+2^2+3^2+ \cdots +n^2 hình

Có thể chứng minh được 1^2+2^2+3^2+ \cdots +n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Người chứng minh định lí Phéc-ma cuối cùng

Vào năm 1637 nhà Toán học kiêm luật gia người Pháp Phéc-ma đã nêu mệnh đề sau và nó được gọi là định lí lớn Phéc-ma cũng gọi là định lí cuối cùng của Phéc-ma

Phương trình x^n+y^n=z^n với n là số nguyên lớn hơn 2 không có nghiệm nguyên dương
Phéc-ma

Người ta đã tìm thấy chứng minh của Phéc-ma với n=3n=4. Một trăm năm sau người ta chứng minh được mệnh đề trên với n=5, n=7. Năm 1992 với máy tính điện tử đã chứng minh được bài toán với mọi n \leq 4~000~000. Đến năm 1993 bài toán vẫn treo lơ lửng như một sự thách đố khả năng của con người. Ít người tin rằng bài toán sẽ được giải quyết ngay trong thế kỉ XX

Người đã làm được công việc tuyệt vời này là nhà Toán học Anh Oai-lơ. Ông đã tự nguyện gắn bó cuộc đời mình với “bài toán thế kỉ” này từ năm 23 tuổi. Ông kể lại

Tôi nghĩ về bài toán suốt ngày kể cả trong lúc ngủ. Khi bế tắc tôi đi dạo gần hồ. Tôi có sẵn bút chì và giấy. Lúc có một ý tưởng tôi ngồi xuống một băng ghế và viết vội ra suốt 7-8 năm trời như vậy

Một buổi sáng cuối tháng 5 -1993 tôi ngó lướt qua bài nghiên cứu của mình có một câu làm tôi chú ý câu đó nhắc tới một công trình vào thế kỉ XIX và tôi bỗng nhận ra là tôi có thể dùng nó để hoàn tất chứng minh của mình

Tôi tiếp tục tới chiều và quên cả ăn trưa. Khoảng 3-4 giờ chiều tôi tin tưởng đã giải quuyết được bài toán. Tôi xuống nhà nói với vợ tôi là tôi đã giải được định lí Phéc-ma cuối cùng

Oai-lơ

Oai-lơ công bố phát minh của mình trong một hội nghị Toán học quốc tế ở Cambridge – Anh. Đó là ngày thứ tư 23-6-1993 ngày báo cáo cuối cùng của ông. Ông đã chứng minh được một giả thuyết mà định lí Phéc-ma là hệ quả của giả thuyết này. Ông kết luận bản báo cáo “Và đều này chứng minh định lí Phéc-ma”

Phòng họp lặng đi rồi cả hội trường vỗ tay dồn dập. Ngày hôm sau cả thế giới thông tin về một trong những thành tựa Toán học vĩ đại nhất

Công trình 200 trang của ông được gửi đến các nhà lí thuyết số hàng đầu thế giới. Sáu tháng sau họ phát hiện ra một lỗ hổng trong chứng minh, một lỗ hổng chứ không phải một sai lầm và mọi người tin rằng Oai-lơ sẽ khắc phục được

Sự miệt mài cần mẫn của Oai-lơ đã được đền đáp. Tháng 9-1994 ông đã tìm ra chỗ sai của mình và tháng 10-1994 ông cùng với một học trò cùa mình công bố một bài báo cáo 25 trang để “lấp lỗ hổng” của bản báo cáo trước. Lần này người ta không tìm thấy một sai sót nào. Định lí cuối cùng của Phéc-ma đã được chứng minh sau trên 350 năm

Việc Oai-lơ chứng minh được định lí Phéc-ma cũng như việc Ngô Bảo Châu chứng minh được bổ đề cơ bản của Chương trình Langlands cho thấy cho thấy bộ óc con người thật dịu kì

Bất cứ đỉnh cao trí tuệ nào con người cũng có thể vương tới không có bài toán nào mà con người không giải được chỉ có sớm hay muộn mà thôi!

6 phương trình nghiệm nguyên chưa giải được

Bài toán 1 Xét biểu thức x!+1. Với x bằng 4, 5 ,7 thì biểu thức cho các số chính phương 5^2, 11^2, 71^2. Còn số nguyên dương x nào khác để x!+1 là số chính phương không

Bài toán 2 Phương trình sau có nghiệm nguyên không x^3+y^3+z^3+t^3=148

Bài toán 3 Tồn tại các số nguyên dương a, b, c, d khác nhau sao cho a^3+b^3=c^3+d^3. Có tồn tại các số nguyên dương a, b, c, d khác nhau sao cho a^5+b^5=c^5+d^5 không

Bài toán 4 Phương trình x^m-y^n=1 với m>1, n>1, x<y chỉ có nghiệm nguyên dương khi m=2n=3

Bài toán 5 Có luôn tồn tại số nguyên tố nằm giữa n^2(n+1)^2 với mọi số tự nhiên n không

Bài toán 6 Xét biểu thức n^n+1. Với n=1, 2, 4 thì biểu thức cho các số nguyên tố 2, 5, 257. Còn số tự nhiên n nào khác để n^n+1 là số nguyên tố không

Điền số vào ngôi sao

Hình bên dưới có năm cánh sao là những tam giác được tô đậm. Hãy điền năm số 1, 2, 3, 4, 5 vào năm vòng tròn bên trong sao cho tổng của ba số ở ba đỉnh mỗi hình tam giác bằng nhau

Đáp án

Gọi a, b, c, x, y là các số phải điền

Ta có 6+a+y=7+a+b=8+b+c=9+c+x=10+x+y

Suy ra a+y>a+b>b+c>c+x>x+y

\Rightarrow {y}>{b}, {a}>{c}, {b}>{x}, {c}>{y} \Rightarrow {a}>{c}>{y}>{b}>{x}

\Rightarrow {a}=5, {c}=4, {y}=3, {b}={2}, {x}={1}

Ta được

Ai đoán đúng

Một nhóm bạn thảo luận với nhau về biểu thức sau

A=\dfrac{1}{3^{2}}+\dfrac{1}{4^{2}}+\dfrac{1}{5^{2}}+\dfrac{1}{6^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{100^{2}}

A là tổng của 98 phân số nên chắc sẽ lớn hơn \dfrac{1}{2}
Mai

Vì mỗi phân số đều nhỏ nên A<\dfrac{1}{2}
Tùng

A=\dfrac{1}{2}
Tâm

Bạn nào đoán đúng

Đáp án

Bạn Tùng đoán đúng nhưng lí do không phải mỗi phân số đều nhỏ mà phải lập luận như sau

A<\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+\cdots+\dfrac{1}{99.100}

=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\cdots+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}<\dfrac{1}{2}

Đi-rích-lê

Đi-rích-lê là một nhà Toán học người Đức gốc Pháp. Ông kế tục sự nghiệp của “ông vua Toán học” Gau-xơ ở trường Đại học Gớt-tinh-ghen và được đánh giá là “Gau-xơ thứ hai”

Lĩnh vực nghiên cứu của ông rất rộng từ lí thuyết số, chuỗi số đến giải tích Toán học

Một ví dụ về hàm sồ mà Đi-rích-lê đưa ra có nhiều ứng dụng đó là hàm số Đi-rích-lê

f(x)=\left\{\begin{array}{l}1~neu~x ~la~so~huu~ti \\ 0~neu~x~la~so~vo~ti\end{array}\right.

Nếu có ai yêu cầu bạn cho một hàm số không biểu diễn được bằng đồ thị thì bạn có thể đưa tra hàm số trên

Thử làm “Bao công xử án”

Một nhà giàu bị kẻ gian lẻn vào lấy trộm thóc ở ba cót chỉ còn lại ở cót thứ nhất ba đấu thóc và một cái nồi, ở cót thứ hai một đấu thóc và một cái vung nồi, ở cót thứ ba hai đấu thóc và một cái rá

Ba trên trộm Giáp, Ất và Bính bị bắt giải lên quan. Tên Giáp khai đã lấy thóc bằng nồi, Ất khai lấy thóc bằng vun nồi và Bính khai lấy thóc bằng rá

Mỗi lần chúng đều đong đầy thóc bởi các dụng cụ trên. Khi cho đong lại thì nồi chứa đúng 7 đấu thóc, vung nồi chứa đúng 3 đấu thóc và rá chứa đúng 5 đấu thóc

Biết số thóc ở mỗi cót bằng nhau, nhiều hơn 200 đấu và ít hơn 300 đấu. Em hảy thử làm “Bao công xử án” xác định mỗi tên trộm đã lấy bao nhiêu đấu thóc để chúng phải “tâm phục, khẩu phục”

Đáp án

Trước hết ta tìm số đấu thóc ở mỗi cót thóc. Số đấu thóc đó là một số trong khoảng từ 201 đến 299 thỏa mãn ba điều kiện chia cho 73, chia cho 3 dư 1 và chia cho 52

– Xét điều kiện chia cho 73. Ta thấy 201:7=285 nên 203 chia hết cho 7. Số đấu thóc chia cho 73 nên thuộc dãy số sau 206, 213, 220, 227, 234, 241, 248, 255, 262, 269, 276, 283, 290, 297

– Xét đều kiện chia cho 52. Trong các số trên ta chọn số chia cho 52 tức là số tận cùng bằng 2 hoặc 7 đó là các số 227, 262, 297

– Xét điều kiện chia cho 31. Trong các số trên  chỉ có số 262 chia cho 31

Vậy số đấu thóc ở mỗi cót thóc là 262 đấu

– Giáp lấy 262-3=259 đấu

– Ất lấy 262-1=261 đấu

– Bính lấy 262-2=260 đấu

Lưu ý

Bài toán được giải nhanh hơn nếu đề bài thay đổi ở hai dữ kiện như sau

Đề bài cũĐề bài mới
ba đấu thóc và một cái nồibốn đấu thóc và một cái nồi
một đấu thóc và một cái vung nồichỉ có một cái vung nồi

Khi đó số đấu thóc cộng với 3 phải chia hết cho 7, cho 3, cho 5 nên chia hết cho 7.3.5=105 do đó là 210.

Vậy số đấu thóc ở mỗi cót thóc là 210-3=207 đấu

– Giáp lấy 207-4=203 đấu

– Ất lấy 207 đấu

– Bính lấy 207-2=205 đấu

Vâng! Đến đây xem như mình đã giới thiệu cho các bạn xong những bài toán số học thực tế mà minh tâm đắc nhất. Trước khi tạm ngừng bút mình có đôi lời muốn nói với các bạn như sau

– Để giải được những bài toán thực tế nói chung hay những bài số học thực tế nói riêng không phải dễ dàng. Nó không khó nhưng đòi hỏi bạn phải nằm vững được khái niệm, định lí và biết cách vận dụng chúng mới có thể giải được những bài toán dạng này

– Đây là điều mà rất nhiều học sinh hiện nay không làm được. Đa phần các em có thể giải tốt những dạng toán đã có thuật giải hoặc tựa thuật giải nhưng với những dạng toán này giải được là một điều khá khó khăn

– Hy vọng trong lần đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục lần này sẽ khắc phục được những hạn chế trong nền giáo dục hiện tại cũng như hạn chế trên

Chúc các bạn học tốt