9 bài toán hình học thực tế thử trí thông minh

Thời còn đi học mình và nhiều bạn của mình thường thích học Số học và Đại số hơn Hình học. Tại sao lại như vậy? Tại vì Số học và Đại số đa phần đều có thuật toán hoặc tựa thuật toán để giải còn Hình học gần như không có bất kì thuật toán nào

Đó là đối với những người thiếu “tư duy hình học”. Còn đối với những người thừa “tư duy hình học” họ biết rằng mỗi bài toán hình học đều có một “chiếc chìa khóa” được giấu đâu đó và một khi tìm được nó mọi thứ gần như đã được giải quyết

Ngoài 9 bài toán Hình học thực tế thử trí thông minh được mình giới thiệu trong bài viết này bạn có thể tham khảo thêm trong Vũ Hữu Bình, 9 chuyên đề hình học Trung học cơ sở, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2014

Ở cửa hàng đồ da

Do có ít khách hàng một ông chủ cửa hàng đồ da đã nghĩ ra một cách quảng cáo khéo léo. Ông treo hai miếng da trước của hàng trong đó miếng da bên trái có hình tam giác, miếng da bên phải có hình tròn với một lỗ hổng mà nếu lật ngược miếng da bên trái xếp vào lỗ hổng thì vừa khít

Bên cạnh hai tấm da ông chủ cửa hàng đặt một tấm bảng ghi dòng chữ

Quý khách nào cắt được miếng da bên trái thành ba mảnh rồi ghép kín lỗ hổng của tấm da bên phải mà không phải lật ngược thì khi mua bất cứ thứ hàng nào của cửa hàng cũng chỉ phải trả nửa tiền

Ngay lập tức có nhiều khách đến cửa hàng và đã có người làm được. Còn bạn hãy đưa ra cách làm của mình

Đáp án

Các tam giác ABCA'B'C' tuy bằng nhau nhưng nếu muốn đặt trùng khít nhau thì tam giác ABC phải lật lại tức mặt trên xuống dưới mặt dưới lên trên

Nhưng nếu hai hình bằng nhau là tam giác cân thì không cần lật lại một hình vẫn đặt được trùng khớp với hình kia

Do đó ta làm như sau ở miếng da hình tam giác bên trái gọi H là hình chiếu của A trên BC, gọi DE theo thứ tự là trung điểm của ABAC. Cắt miếng da đó theo HDHE thì miếng da được chia làm ba mảnh

– Mảnh 1 là tam giác cân DBH

– Mảnh 2 là tam giác cân EHC

– Mảnh 3 là tứ giác ADHE gồm hai tam giác cân là ADHAEH

Không cần lật lại ta ghép được

– Mảnh 1 trùng khít phần 1' với D trùng D', B trùng H'H trùng B'

– Mảnh 2 trùng khít phần 2' với E trùng E', H trùng C'C trùng H'

– Mảnh 3 trùng khít phần 3' với A trùng H', D trùng D' , H trùng A'E trùng E'

Chia bánh

Tám bạn học sinh cần chia đều một chiếc bánh ga-tô thành tám phần. Chiếc bánh có mặt trên và mặt dưới là hai lục giác đều giống nhau

Thành tìm ra cách chia bằng bốn nhát cắt thẳng đi qua tâm của chiếc bánh. Mai lại tìm ra cách chia chiếc bánh thành tám hình thang cân

Các bạn đó đã chia chiếc bánh như thế nào?

Đáp án

Thành cắt chiếc bánh như hình bên dưới bằng bốn nhát cắt AD, HF, IM, KN

Lục giác đều có sáu cạnh chia thành tám phần nên mỗi phần chứa \dfrac{3}{4} cạnh. Ta có AH=\dfrac{3}{4}AB, KD=\dfrac{3}{4}CDBI=IC. Do AH=HB+BI nên S_{OAH}=S_{OHBI}

Các góc AOHHOI không bằng nhau dễ chứng minh được \widehat{AOH}>\widehat{HOI}

Mai cắt chiếc bạnh như hình bên dưới trong đó O là tâm của lục giác đều, các điểm A', B', C', D', E', G' theo thứ tự là trung điểm của OA=OB=OC=OD=OE=OG

Đo chiều cao với cuốn sổ tay và cây bút chì

Với cuốn sổ tay hình chữ nhật ABCDAB=10~cm và phần bút chì nhô lên AE=5~cm. Hãy tính chiều cao của cây biết người đó cao 1,7~m và đứng cách cây 20~m

Đáp án

Theo định lí Ta-lét do FG \parallel AE nên \dfrac{FG}{GB}=\dfrac{EA}{AB}=\dfrac{5}{10}=0,5 \Rightarrow FG=GB.0,5=20.0,5=10~m

Vậy chiều cao của cây là 10+1,7=11,7~m

Cậu bé Lương Thế Vinh đo chiều cao bằng bóng nắng

Lương Thế Vinh là một nhà Toán học của nước ta thế kỉ XV. Ông sinh năm 1441 mất khoảng năm 1496

Lúc nhỏ khi đi chơi cùng các bạn trong làng ông đã trả lời câu đố của một bạn yêu cầu tính chiều cao của cây cau mà không cân trèo lên cây cau như sau

Chỉ cần đo bóng của cây cau và bóng của một chiếc cọc cắm thẳng đứng. Cọc dài gấp bao nhiêu lần bóng của nó thì cây cao gấp bấy nhiêu lần bóng của nó

Các bạn đã thực hành và thán phục Lương Thế Vinh khi thấy kết quả đo bằng bóng nắng và kết quả đo trực tiếp khóp với nhau

Dùng hình học chứng minh bất đẳng thức Cô-si

Tuấn đố Lan chứng minh bất đẳng thức Cô-si bằng hình học \dfrac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} với xy là các số dương

Bạn hãy giúp Lan

Đáp án

Trên hai tia đối nhau gốc H lấy các điểm BC sao cho HB=x, HC=y. Vẽ nửa đường tròn tâm M đường kính BC và vuông góc với BC tại H. Chúng cắt nhau ở A

Tam giác ABC vuông tại A đường cao AH nên AH^2=HB.HC=xy \Rightarrow AH=\sqrt{xy}

AM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{x+y}{2}. Ta có AM \geq AH nên \dfrac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi H trùng M tức là x=y

Nhà khoa học Việt Nam đã dự đoán đúng nhật thực vào đầu thế kỉ XIX

Nhật thực là hiện tượng Mặt Trăng chặn ánh sáng từ Mặt Trời chiếu xuống Trái Đất

Vào năm 1817 đã có một người Việt Nam dự đoán đúng nhật thực người đó là ông Nguyễn Hữu Thận tên hiệu là Ý Trai

Ông sinh ra tại xã Triệu Đại, huyện Triệu Phong, tỉnh Quảng Trị. Được tiếp thu kiến thức khoa học từ người cha vốn say mê toán pháp và nghiên cứu thời tiết. Ông đã để hết tâm trí tự học tự nghiên cứu Toán học và Thiên văn học

Sau khi về hưu với chức vụ cao như Thượng thư bộ Lại, Thượng thư bộ Hộ và Thượng thư bộ Binh. Ông viết cuốn Ý Trai toán pháp nhất đắc lục gồm 8 quyển bao gồm những kiến thức Hình học, Số học, Đại số học và một số bài toán

Về Thiên văn học ông đã làm lịch Hiệp Kỉ thay cho lịch đang dùng lúc đó đã sai khác với thực tế rất nhiều. Năm 1815 ông đã tính toán và báo trước vào hai năm nữa vào ngày 16-5-1817 sẽ có nhật thức và sự việc đó đã xảy ra đúng như ông tính toán. Vua Gia Long đã gọi ông là “thiên văn gia vô xuất kì hữu” tức là nhà thiên văn không ai sánh kịp

Ngôi sao năm cánh

Ngôi sao năm cánh trên lá quốc kì Việt Nam là một hình rất quen thuộc. Bạn đã bao giờ nghĩ đến góc nhọn x của một cánh sao và góc tù y giữa hai cạnh sao bằng bao nhiêu độ chưa

Đáp án

Vẽ đường tròn đi qua các đỉnh của năm cánh sao ta có số đo của mỗi cung AB, BC, CD, DE, EA bằng 360^o:5=72^o

Theo tính chất góc nội tiếp ta có x=\dfrac{ sd\stackrel{\frown}{AB}}{2}=72^o:2=36^o

Theo tính chất góc có đỉnh ở bên trong đường tròn ta có y=\dfrac{ sd\stackrel{\frown}{BE}+ sd\stackrel{\frown}{CD}}{2}=\dfrac{72^o.2+72^o}{2}=108^o

Bài toán Na-pô-lê-ông

Na-pô-lê-ông Bô-na-pác Hoàng đế Pháp không chỉ giỏi về quân sự và kinh tế mà còn rất yêu thích Toán học. Bài toán dưới đây và một vài bài toán khác được gọi là bài toán Na-pô-lê-ông

Thực ra đó là bài toán của nhà toán học Mac-sê-rô-ni. Na-pô-lê-ông đã gặp nhà Toán học này trong chiến viễn chinh ở I-ta-li-a và đã giới thiệu cuốn “Hình học với chiếc compa” của Mac-sê-rô-ni với Viện Hàn lâm khoa học Pari

Bài toán chia đường tròn thành bốn phần với chiếc compa như sau

Cho một đường tròn và tâm O của nó. Chỉ dùng một chiếc compa hãy chia đường tròn đó thành bốn phần bằng nhau tức là hãy dựng hai điểm sao cho khoảng cách giữa chúng là độ dài cạnh của một hình vuông nội tiếp đường tròn

Đáp án

Gọi R là bán kính của đường tròn (O). Dùng compa dựng các điểm A, B, C, D trên đường tròn sao cho AB=BC=CD=R

Dựng các cung của đường tròn (A; AC)(D; DB) chúng cắt nhau ở E. Độ dài OE là độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn

Đường tròn (A; OE) cắt (O)M, N. Các điểm A, M, D, N chia đường tròn (O) thành bốn phần bằng nhau

Chứng minh

\Delta EAD cân tại E nên đường trung tuyến EO cũng là đường cao nên OE^2=AE^2-OA^2=AC^2-OA^2=(R\sqrt{3})^2-R^2=2R^2 \Rightarrow OE=R\sqrt{2}

Cây lúa Việt Nam

Bạn hãy tìm ý nghĩa Toán học của bài thơ dưới đây

Ba miền đất Bắc – Trung – Nam

Một vùng lãnh thổ Việt Nam anh hùng

Bốn mùa xuân hạ thu đông

Một năm thu hoạch cây trồng tốt tươi

Năm nay đất chẳng phụ người

Chín vàng thảm lúa chân trời cò bay

Hai sương một nắng chung tay

Sáu tấn một mẫu bỏ ngày chăm lo

Năm xưa ăn chẳng đủ no

Ba miền nay đã thành kho thóc đầy

Năm châu nhập gạo từ đây

Tám thơm hạt dẻo mê say lòng người

Đáp án

Các chữ đầu của 12 câu thơ cho ta 12 chữ số đầu tiên của số \pi đó là 3,14159265358

Ngoài 9 bài toán Hình học thực tế thử trí thông minh bạn có thể xem thêm 10 bài toán Đại số thử trí thông minh tại đây

Chúc các bạn học tốt