Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Bài này là bài số 57 trong 66 bài của series Tự học Toán 8

Kiến thức cơ bản

Từ các trường hợp đồng dạng của tam giác đã học suy ra hai tam giác vuông đồng dạng nếu có một trong các điều kiện sau

– Một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia

– Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia

Trường hợp đồng dạng đặc biệt Nếu cạnh huyển và một góc nhọn của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đồng dạng

Nếu \Delta ABC\Delta A'B'C'\widehat{A}=\widehat{A'}=90^o\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'} thì \Delta ABC \sim \Delta A'B'C'

Nếu hai tam giác đồng dạng thì

– Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng

– Tỉ số hai diện tích bằng bình phương của tỉ số đồng dạng

Sai lầm cần tránh

Cho tam giác ABC và một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D, E và chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau

SaiĐúng
\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{2}\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Câu hỏi trắc nghiệm

1) Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng khẳng định nào sai

a) Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng

b) Nếu một góc của tam giác vuông này phụ với một góc của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng

Đáp án

a) Đúngb) Đúng

2) Cho \Delta ABC \sim \Delta DHE với tỉ số đồng dạng \dfrac{2}{3}. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng khẳng định nào sai

a) Tỉ số hai đường cao tương ứng của \Delta DHE\Delta ABC\dfrac{2}{3}

b) Tỉ số hai đường cao tương ứng của \Delta ABC\Delta DHE\dfrac{2}{3}

c) Tỉ số diện tích \Delta ABC\Delta DHE\dfrac{2}{3}

d) Tỉ số diện tích \Delta DHE\Delta ABC\dfrac{4}{9}

e) Tỉ số diện tích \Delta DHE\Delta ABC\dfrac{9}{4}

Đáp án

a) Saib) Đúngc) Said) Saie) Đúng

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

1) Cho tam giác ABC cân tại A, AC=20~cm, BC=24~cm, các đường cao ADCE cắt nhau ở H. Tính các độ dài

a) AD

b) HD, HC,HA

Đáp án

a) Tam giác ABC cân tại A nên BD=DC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{24}{2}=12~cm

Theo định lí Py-ta-go ta có AD^2=AC^2-DC^2=20^2-12^2=16^2 nên AD=16~cm

b) \Delta CDH\Delta ADB

\widehat{CDH}=\widehat{ADB}=90^o

\widehat{C_1}=\widehat{A_1} (cùng phụ với \widehat{B})

Do đó \Delta CDH \sim \Delta ADB~(g.g) nên \dfrac{HD}{BD}=\dfrac{HC}{AB}=\dfrac{CD}{AD} tức là \dfrac{HD}{12}=\dfrac{HC}{20}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}

Suy ra HD=9~cm, HC=15~cm, HA=AD-HD=16-9=7~cm

2) Cho hai tam giác cân có góc ở đỉnh là góc nhọn, tỉ số giữa cạnh bên và đường cao tương ứng của tam giác này bằng tỉ số giữa cạnh bên và đường cao tương ứng của tam giác kia. Chứng minh rằng hai tam giác đó đồng dạng

Đáp án

Gọi ABCA'B'C' là hai tam giác cân tại AA', các đường cao BHB'H' thỏa mãn \widehat{A}\widehat{A'} là các góc nhọn, \dfrac{AC}{BH}=\dfrac{A'C'}{B'H'}

\Delta ABH \sim \Delta A'B'H' (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \widehat{A}=\widehat{A'}=\alpha

Ta lại có \widehat{C}=\widehat{C'} (cùng bằng \dfrac{180^o-\alpha}{2}) nên \Delta ABC \sim \Delta A'B'C'~(g.g)

3) Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác ABK vuông cân tại K. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD=AK. Đường thẳng đi qua D và song song với BC cắt ACE. Chứng minh rằng diện tích tam giác ADE bằng nửa diện tích tam giác ABC

Đáp án

DE \parallel BC nên \Delta ADE \sim \Delta ABC suy ra S_{ADE}:S_{ABC}=\left(\dfrac{AD}{AB}\right)^2=\dfrac{AD^2}{AB^2} \qquad (1)

Ta có AK^2+KB^2=AB^2 (định lí Py-ta-go) nên 2AK^2=AB^2 tức là \dfrac{AK^2}{AB^2}=\dfrac{1}{2}. Ta lại có AD=AK nên \dfrac{AD^2}{AB^2}=\dfrac{1}{2} \qquad (2)

Từ (1)(2) suy ra S_{ADE}=\dfrac{1}{2}S_{ABC}

Mức độ nâng cao

1) Cho tam giác ABC\widehat{B}\widehat{C} là các góc nhọn. BC=40~cm, đường cao AH=24~cm. Vẽ hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác (M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, PQ thuộc cạnh BC). Tính diện hình chữ nhật đó biết rằng

a) MN là đường trung bình của tam giác ABC

b) MN=NP

Đáp án

a)

MN là đường trung bình của \Delta ABC nên MN=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{40}{2}=20~cm

Tam giác AHCAN=NCNP \parallel AH nên NP=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{24}{2}=12~cm

S_{MNPQ}=MN.NP=20.12=240~cm^2

b)

AH \perp BCBC \parallel MN nên AH \perp MN. Gọi K là giao điểm của AHMN. Do MN \parallel BC nên \Delta AMN \sim \Delta ABC, AHAK là các đường cao tương ứng nên \dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AK}{AH} \qquad (1)

Đặt MN=NP=KH=x. Từ (1) suy ra \dfrac{x}{40}=\dfrac{24-x}{24}

Ta tính được x=15. Vậy S_{MNPQ}=15.15=225~cm^2

Lưu ý

Ta có thể chứng minh được trong các hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC nói trên hình chữ nhật ở câu a) là hình có diện tích lớn nhất

Thật vậy đặt NP=x ta có \Delta AMN \sim \Delta ABC nên \dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AK}{AH} tức là \dfrac{MN}{40}=\dfrac{24-x}{24} hay \dfrac{MN}{5}=\dfrac{24-x}{3} suy ra MN=\dfrac{120-5x}{3}

S_{MNPQ}=NP.MN=x.\dfrac{120-5x}{3} nên 3S=-5x^2+120x=-5(x^2-24x+144)+720=-5(x-12)^2+720 \leq 720

Suy ra S \leq 240

Giá trị lớn nhất của S bằng 240~cm^2 với x=12~cm khi đó MN là đường trung bình của tam giác ABC

2) Cho tam giác ABC điểm D thuộc cạnh AC. Vẽ hình bình hành BEDFE thuộc cạnh AB, F thuộc cạnh BC. Biết diện tích của hình bình hành đó bằng 24~cm^2 và diện tích tam giác DFC=16~cm^2. Tính diện tích tam giác AED

Đáp án

S_{DBF}=\dfrac{1}{2}S_{BEDF}=24:2=12~cm^2

S_{DBF}:S_{DFC}=12:16=3:4 nên \dfrac{BF}{FC}=\dfrac{3}{4}

Ta có DF \parallel AB nên \dfrac{AD}{DC}=\dfrac{BF}{FC}=\dfrac{3}{4} (định lí Ta-lét)

\Delta AED \sim \Delta DFC (vì cùng đồng dạng với \Delta ABC) nên S_{AED}:S_{DFC}=\left(\dfrac{AD}{DC}\right)^2=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}

Vậy S_{AED}=\dfrac{9}{16}.S_{DFC}=\dfrac{9}{16}.16=9~cm^2

<< Trường hợp đồng dạng thứ baỨng dụng thực tế của tam giác đồng dạng >>