Cung chứa góc

Bài này là bài số 38 trong 45 bài của series Tự học Toán 9

Kiến thức cơ bản

Định nghĩa

Cung chứa góc \alpha~(0^o< \alpha <180^o) dựng trên đoạn thẳng AB là cung với mọi điểm M thuộc cung đó ta đều có \widehat{AMB}=\alpha

Áp dụng công thức vào chứng minh

Nếu một tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc \alpha thì bốn đỉnh của tứ giác đó nằm trên cùng một đường tròn

Áp dụng công thức cung chứa góc vào tìm quỹ tích

Quỹ tích các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc \alpha không đổi là hai cung chứa góc \alpha dựng trên đoạn thẳng đó (0^o < \alpha < 180^o)

Đặc biệt quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB

Sai lầm cần tránh

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, điểm M chuyển động trên cung AB. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MB

SaiĐúng
Quỹ tích của điểm I là cung chứa góc 45^o dựng trên ABQuỹ tích của điểm I là cung BK của cung chứa góc 45^o dựng trên AB với AK vuông góc AB

Câu hỏi trắc nghiệm

1) Cho đoạn thẳng AB và hai điểm M, N phân biệt nằm ngoài đường thẳng AB. Bốn điểm M, N, A, B thuộc cùng một đường tròn nếu

a) \widehat{AMB}=\widehat{ANB}

b) \widehat{AMN}=\widehat{BMN}

c) \widehat{AMB}=\widehat{ANB}, MN nằm khác phía đối với AB

d) \widehat{AMB}=\widehat{ANB}, MN nằm cùng phía đối với AB

Hãy chọn phương án đúng

Đáp án

d)

2) Xét các tam giác ABC cân tại A có cạnh AB cố định. Điền vào chỗ trống (…)

a) Quỹ tích các đỉnh C là …

b) Quỹ tích các trung điểm của B là …

Đáp án

a) Đường tròn (A, AB)b) Đường tròn đường kính AB

3) Xét các tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC cố định. Điền vào chỗ trống (…)

a) Quỹ tích các đỉnh A là …

b) Quỹ tích tâm các đường tròn nội tiếp tam giác ABC là …

Đáp án

a) Đường tròn đường kính BCb) Hai cung chứa góc 135^o dựng trên BC

Không yêu cầu trừ điểm B ở câu 2), trừ các điểm BC ở câu 3)

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

Cho tam giác ABC\widehat{A} = 80^o. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự ớ M, N. Gọi K là giao điếm của MNBI

a) Tính số đo các góc CNK, CIK

b) Chứng minh rằng bốn điểm C, I, N, K thuộc cùng một đường tròn

c) Chứng minh rằng BK vuông góc với CK

Đáp án

a) Tam giác AMNAM = AN nên \widehat{ANM} = \widehat{AMN} = (180^o - \widehat{A}) : 2 = (180^o-80^o): 2 = 50^o

\widehat{CNK} = \widehat{ANM} (đối đỉnh) nên \widehat{CNK} = 50^o

Tam giác ABC\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=\dfrac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}=\dfrac{180^o-80^o}{2}=50^o

Do đó \widehat{CIK}=\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=50^o

b) Tứ giác CINK\widehat{CIK} = \widehat{CNK} = 50^o nên bốn điểm C, I, N, K thuộc cùng một đường tròn

c) Xét đường tròn đi qua bốn điểm C, I, N, K ta có \widehat{IKC} = \widehat{INC} (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

 Ta lại có \widehat{INC}=90^o nên \widehat{IKC}=90^o. Vậy BK \perp CK

Mức độ nâng cao

1) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C chuyển động trên cung AB. Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE=CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C chuyển động trên cung AB

Đáp án

Phần thuận

Vẽ thêm nửa đường tròn đường kính AB không chứa C. Gọi M là điểm chính giữa của nửa đường tròn đó

Xét \Delta MCE\Delta MCB ta có

MC là cạnh chung

\widehat{MCE}=\widehat{MCB} (vì \stackrel{\frown}{MA}=\stackrel{\frown}{MB})

CE=CB

Do đó \Delta MCE= \Delta MCB~(c.g.c) suy ra ME=MB

Gọi K là điểm đối xứng với B qua M thì K là điểm cố định

Ta có ME=MB=MK nên \widehat{BEK}=90^o

Điểm E nhìn đoạn BK cố định dưới góc vuông nên E chuyển động trên đường tròn đường kính BK

Giới hạn

Khi C tiến đến B thì E tiến đến B. Khi C tiến đến A thì E tiến đến K. Điểm E chỉ chuyển động trên nửa đường tròn đường kính BK

Phần đảo

Lấy điểm E bất kì thuộc nửa đường tròn (M) đường kính BK. Gọi C là giao điểm của EA với cung AB không chứa M với C khác A

Ta có \widehat{EAB} = \widehat{BMC} ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

\widehat{EAB} = \widehat{EMB} (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BE) nên \widehat{BMC} = \dfrac{1}{2} \widehat{EMB}

Suy ra \widehat{EMC} = \widehat{BMC}

Các tam giác EMCBMCMC là cạnh chung, \widehat{EMC} = \widehat{BMC}, ME = MB nên \Delta EMC = \Delta BMC~(c.g.c)

Suy ra CE = CB

Kết luận

Quỹ tích các điểm E là nửa đường tròn (M) đường kính BK (M là điểm chính giữa của cung AB không chứa C của đường tròn (O)

Lưu ý

Có thể giải ví dụ trên bằng cách xét hai trường hợp. Gọi I là điểm chính giữa của cung AB chứa C

Khi C chuyển động trên cung BI thì E chuyển động trên cung chứa góc 135^o dựng trên AB

Khi C chuyển động trên cung IA thì E chuyển động trên cung AK của cung chứa góc 45^o dựng trên AB

Hai cung chứa góc nói trên làm thành nửa đường tròn đường kính BK

2) Cho hình vuông ABCD điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc cạnh CD

a) Gọi I là giao điểm của AC và đường tròn đường kính MN (I khác C). Chứng minh rằng \stackrel{\frown}{IM}=\stackrel{\frown}{IN}

b) Suy ra cách dựng hình vuông ABCD biết ba điểm A, M, N sao cho M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD

Đáp án

a) \widehat{C}= 90^o nên đường tròn đường kính MN đi qua C. Ta có \widehat{ACB} = \widehat{ACD} (tính chất đường chéo hình vuông) nên \stackrel{\frown}{IM}=\stackrel{\frown}{IN} (hai góc nội tiếp bằng nhau thì hai cung bị chắn bằng nhau)

b) Cách dựng

– Dựng đường tròn đường kính MN

– Dựng I là điểm chính giữa của cung MN

– Dựng C là giao điểm của AI với đường tròn trên

– Kẻ AB \perp CM, AD \perp CN ta được hình vuông ABCD

<< Góc có đỉnh ở bên trong đường trònTứ giác nội tiếp >>