Đặc biệt hóa

Đặc biệt hóa là gì?

Xét hai bài toán sau

Bài toán 1. Nếu \Delta ABC\widehat{A}=\alpha các tia phân giác của các góc BC cắt nhau ở O thì \widehat{BOC}=90^o+\dfrac{\alpha}{2}

Bài toán 2. Nếu \Delta ABC vuông ở A các tia phân giác của các góc BC cắt nhau ở O thì \widehat{BOC}=135^o

Bài toán 2 là trường hợp đặc biệt của Bài toán 1 khi thay \alpha bởi 90^o. Đặc biệt hóa là chuyển từ trường hợp chung sang trường hợp riêng, sang trường hợp đặc biệt

Các cách đặc biệt hóa

Người ta thường đặc biệt hóa bài toán bằng cách

Thay biến số bởi hằng số, cho các số đo góc hoặc độ dài đoạn thẳng bằng các số cụ thể. Chẳng hạn thay \alpha bởi \alpha=90^o

Thay các điều kiện của bài toán bởi điều kiện hẹp hơn, chẳng hạn thay \Delta ABC\widehat{B}>\widehat{C} bởi \Delta ABC vuông tại B

Thay vị trí bất kì của một điểm, của một hình bằng vị trí đặc biệt của nó. Chẳng hạn trong các điểm C thuộc đoạn AB: xét C trùng A hoặc trùng B hoặc là trung điểm AB

Bổ xung thêm các quan hệ mới vào bài toán. Chẳng hạn trong các tam giác ABC xét tam giác cân đáy BC (bổ sung thêm điều kiện AB = AC)

Tác dụng của đặc biệt hóa

Ta biết rằng một tính chất đúng trong trường hợp chung thì cũng đúng trong trường đặc biệt. Một tính chất sai trong trường hợp đặc biệt thì cũng sai trong trường hợp chung. Do đó phương pháp đặc biệt hóa được dùng để

Bác bỏ một mệnh đề

Xét mệnh đề. Nếu hai cạnh và một góc của tam giác này bằng hai cạnh và một góc của tam giác kia thì hai tam giác ấy bằng nhau

Mệnh đề trên có đúng không?

Mệnh đề trên không đúng

Để bác bỏ mệnh đề trên chỉ cần nêu ra một trường hợp đặc biệt tồn tại một hình thỏa mãn giả thuyết của mệnh đề nhưng không đúng với kết luận của mệnh đề ấy. Chẳng hạn

Vẽ tam giác ABCAB = AC rối lấy điểm D trên tia đối của tia CB. Các tam giác ABDACD có: cạnh AD chung, AB = AC, \widehat{ADB}=\widehat{ADC} nhưng hai tam giác ấy không bằng nhau

Phát hiện một tính chất

Cho tam giác ABC cân tại A. Qua một điểm M bất kì trên đáy BC và kẻ ME vuông góc AB, kẻ MF vuông góc AC. Chứng minh rằng tổng ME + MF không đổi khi điểm M thay đổi vị trí trên cạnh BC

Ta xét vị trí đặc biệt của điểm MM trùng với B. Khi đó đoạn thẳng ME “suy biến” thành điểm B còn đoạn thẳng MF trở thành đoạn thẳng BH vuông góc với AC và độ dài BH không đổi. Ta sẽ chứng minh ME + MF = BH

Kẻ BH \bot AC, MK \bot BH dễ dàng chứng minh MF=KH~(1)

\Delta MKC= \Delta BME (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra BK=ME~(2)

Từ (1)(2) ta có ME+MF=BK+KH=BH (không đổi)

Đặt ra một bài toán mới

Cho tam giác ABC, AC \geq AB, tia phân giác của góc A cắt BCD. Trên nửa mặt phẳng chứa A bờ BC, vẽ tia Dx sao cho \widehat{CDx}=\widehat{BAC}, tia này cắt CAE. Chứng minh rằng DB=DE

Đặc biệt hóa ví dụ trên khi \widehat{BAC}=90^o. Khi đó Dx vuông góc BC ta có bài toán mới sau đây

Cho tam giác ABC vuông tại A, AC > AB, tia phân giác của góc A cắt BCD. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt ACE. Chứng minh rằng DB = DE

Vẽ DH \perp AB, DK \perp AC. Ta có \widehat{BDH}=\widehat{EDK} (cùng phụ với \widehat{HDE}). Ta lại có DH = DK. Do đó \Delta BDH= \Delta EDK~(g.c.g) suy ra DB = DE

Cách giải khác

– Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AE rồi chứng minh DBDE cùng bằng DF

– Trên tia AC lấy điểm N sao cho AN = AB rồi chứng minh DBDE cùng bằng DN

Chú ý

Ta cũng phân biệt vị trí đặc biệt vị trí giới hạn. Một tính chất nào đó đúng trong trường hợp chung thì cũng đúng ở vị trí đặc biệt nhưng có thể không đúng ở vị trí giới hạn. Tuy nhiên đôi khi ta cũng có thể xét vị trí giới hạn để xét kết quả của bài toán

Cho tam giác ABC cân tại A, M là điểm bất kì nằm giữa BC. Các điểm E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chứng minh rằng với mọi vị trí của điểm M tổng ME + MF có giá trị không đổi

Điểm M nằm trên đoạn thẳng BC nhưng không trùng B hoặc trùng C (vì M nằm giữa BC). Ta gọi BC là các vị trí giới hạn của điểm M, còn một trong các điểm nằm giữa BC là vị trí đặc biệt của điểm M

Mặc dù điểm M không thể trùng B nhưng ta vẫn có thể xét vị trí giới hạn của MB để dự đoán kết quả. Khi đó đoạn thẳng ME “suy biến” thành điểm B, MF = BH (BH là đường vuông góc kẻ từ B đến cạnh bên AC) và ME + MF = BH (không đổi)

Ta dự đoán ME + MF bằng BH. Dự đoán này đã được khẳng định