Diện tích xung quanh của hình chóp đều

Bài này là bài số 65 trong 66 bài của series Tự học Toán 8

Kiến thức cơ bản

Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy và trung đoạn S_{xq}=p.d với p là nửa chu vi đáy và d là trung đoạn của hình chóp đều

Diện tích toàn phần của hình chóp đều bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy

Với hình chóp để tính diện tích xung quanh ta tính tổng diện tích của các mặt bên

Để tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều ta tính diện tích một mặt bên rồi nhân với số mặt bên hoặc lấy diện tích xung quanh của hình chóp đều lớn trừ đi diện tích xung quanh của hình chóp đều nhỏ

Sai lầm cần tránh

Cho hình chóp đều S.ABC, SE là đường cao của mặt bên

Vẽ saiVẽ đúng

Phải vẽ BE=EC

Câu hỏi trắc nghiệm

Muốn tính diện tích xung quanh của hình chóp đều ta lấy

a) Chu vi đáy nhân với chiều cao

b) Nửa chu vi đáy nhân với chiều cao

c) Chu vi đáy nhân với trung đoạn

d) Nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn

Hãy chọn phương án đúng

Đáp án

d)

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

Một hình chóp tứ giác đều có chiều cao 35~cm, cạnh đáy 24~cm

a) Tính độ dài trung đoạn

b) Tính diện tích xung quanh

c) Tính diện tích toàn phần

Đáp án

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao SH=35~cm, cạnh AB=24~cm

a) Gọi SI là đường cao \Delta S B C. Tam giác S B C cân tại S nên B I=I C. Ta có H I là đường trung bình của \Delta A B C nên H I=\dfrac{A B}{2}=\dfrac{24}{2}=12~{cm}

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông SHI ta có S I^{2}=S H^{2}+H I^{2}=35^{2}+12^{2}=1369=37^{2} nên S I=37~{cm}

b) Chu vi đáy bằng 24.4=96~{cm} suy ra S_{x q}=p . d=\dfrac{96}{2} .37=1776~{cm}^{2}

c) Diện tích đáy bằng 24.24 = 576~cm^2. Diện tích toàn phần bằng 1776+576=2352~{cm}^{2}

Mức độ nâng cao

1) Một hình chóp tam giác đều có đường cao bằng 12~cm, trung đoạn bằng 13~cm

a) Tính cạnh đáy của hình chóp làm tròn đến 0,1~cm

b) Tính diện tích xung quanh làm tròn đến 0,1~cm^2

Đáp án

Xét hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao S H = 12~cm, trung đoạn S M=13~{cm}

a) Tam giác S H M vuông tại H nên H M^{2}=S M^{2}-S H^{2}=13^{2}-12^{2}=25=5^{2} suy ra H M=5~c m

Ta có H là giao điểm các đường trung trực của tam giác đều ABC, M là trung điểm của A B nên C, H, M thẳng hàng và C M=3 H M=3.5=15~{cm}

Đặt M B=x~cm thi B C=2 x

Xét tam giác vuông CM B

B C^{2}-M B^{2}=C M^{2} \Leftrightarrow(2 x)^{2}-x^{2}=15^{2} \Leftrightarrow 3 x^{2}=225 \Leftrightarrow x^{2}=75 \Leftrightarrow x \approx 8,7~{cm}

Cạnh đáy bằng 8, 7.2 = 17, 4~cm

b) Diện tích xung quanh của hình chóp S_{x q}=p d=\dfrac{3.17,4}{2} .13=339,3~{cm}^{2}

2) Cho hình chóp cụt tứ giác đều có các cạnh đáy bằng 10~cm24~cm, cạnh bên bằng 25~cm

a) Tính đường cao của mặt bên

b) Tính diện tích xung quanh vaà diện tích toàn phần của hình chóp cụt

Đáp án

Xét hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A' B' C'D'A^{\prime} B^{\prime}=10~c m, A B=24~c m, A A^{\prime}=25~c m

a) Xét mặt bên A B B^{\prime} A^{\prime} là hình thang cân. Kẻ A^{\prime} IB^{\prime} K vuông góc với A B

Ta có A I=B K=\dfrac{A B-I K}{2}=\dfrac{A B-A^{\prime} B^{\prime}}{2}=\dfrac{24-10}{2}=7~{cm}

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AA^{\prime} I ta có A^{\prime} I^{2}=A^{\prime} A^{2}-A I^{2}=25^{2}-7^{2}=576=24^{2} nên A^{\prime} I=24~{cm}

b) Diện tích mặt bên A B B^{\prime} A bằng \dfrac{A B+A^{\prime} B^{\prime}}{2} . A^{\prime} I=\dfrac{24+10}{2} .24=408~{cm}^{2}

Diện tích xung quanh của hình chóp cụt S_{x q}=408.4=1632~{cm}^{2}

Diện tích toàn phần của hình chóp cụt 1632 + 24 ^2 + 10 2 = 2308~cm^{2}

<< Hình chóp đều và hình chóp cụt đềuThể tích của hình chóp đều >>