Đường kính và dây của đường tròn

Bài này là bài số 23 trong 45 bài của series Tự học Toán 9

Kiến thức cơ bản

So sánh độ dài của đường kính và dây

Trong các dây của một đường tròn dây lớn nhất là đường kính

Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

– Trong một đường tròn đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

– Trong một đường tròn đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

Sai lầm cần tránh

Cho đường tròn (O) đường kính AB dây CD

SaiĐúng
Nếu AB đi qua trung điểm của CD thì AB \perp CDNếu AB đi qua trung điểm của CDCD không đi qua O thì AB \perp CD

Câu hỏi trắc nghiệm

1) Cho đường tròn (O) đường kính 8~cm. Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trên đường tròn bằng

a) 4~cm

b) 16~cm

c) 8~cm

d) Không xác định được

Hãy chọn phương án đúng

Đáp án

c)

2) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại điểm M khác điểm O. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng khẳng định nào sai

a) Tam giác ACD cân

c) Tam giác BCD cân

b) Tam giác OCD cân

d) Tam giác ABC cân

Đáp án

a) Đúngb) Đúngc) Đúngd) Sai

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10~cm. Gọi H là một điểm thuộc bán kính OA. Kẻ dây CD đi qua H và vuông góc với OA

a) Tính diện tích tứ giác ACBD biết OH = 3~cm

b) Điểm H ở vị trí nào thì tứ giác ACBD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó

Đáp án

a) Đường kính AB vuông góc với dây CD nên CH = HD = \dfrac{1}{2}CD

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông OCH

Ta có CH^2 =OC^2-OH^2 =5^2-3^2 =16 nên CH = 4~cm. Suy ra CD = 8~cm

Do AB \perp CD nên S_{ACBD}=\dfrac{1}{2}AB.CD=\dfrac{1}{2}.10.8=40~cm^2

b) S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AB.CDAB=10~cm, CD \leq AB=10~cm (đường kính là dây lớn nhất nên) S_{ACBD} \leq \dfrac{1}{2}.10.10=50~cm^2

Tứ giác ACBD có diện tích lớn nhất là 50~cm^2 khi đó CD là đường kính tức là H trùng O

Mức độ nâng cao

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) với trực tâm H. Kẻ đường vuông góc OM từ O đến BC. Chứng minh rằng

a) OM =\dfrac{1}{2}AH

b) AH^2+BC^2 =4R^2

Đáp án

a) OM \perp BC nên MB = MC

OM là đường trung bình của \Delta CBK nên OM=\dfrac{1}{2}KB \qquad (1)

Ta có KB \parallel AH (cùng vuông góc với BC). Tương tự KA \parallel BH nên AKBHhình bình hành

Suy ra KB = AH \qquad (2)

Từ (1)(2) suy ra OM = \dfrac{1}{2}AH

b) Ta có AH = 2OMBC = 2MC nên AH^2 + BC^2 = (2OM)^2 + (2MC)^2 = 4(OM^2 + MC^2) = 4OC^2 = 4R^2

<< Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường trònLiên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây >>