Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Bài này là bài số 40 trong 45 bài của series Tự học Toán 9

Kiến thức cơ bản

Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác còn đa giác gọi là đa giác nội tiếp đường tròn

Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác gọi là đường tròn nội tiếp đa giác còn đa giác gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp. Tâm của hai đường tròn đó trùng nhau và gọi là tâm của đa giác đều

Sai lầm cần tránh

Cho hình n – giác đều nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi a là độ dài cạnh của đa giác đều đó

SaiĐúng
a=R \sin \dfrac{360^o}{n}a=2R \sin \dfrac{180^o}{n}

Câu hỏi trắc nghiệm

1) Cho đa giác đều n cạnh, độ dài cạnh bằng a. Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng

i) Bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác bằnga) a \sin \dfrac{180^o}{n}
ii) Bán kính của đường tròn nội tiếp đa giác bằngb) \dfrac{a}{2 \sin \dfrac{180^o}{n}}
c) \dfrac{a}{2 \tan \dfrac{180^o}{n}}
d) a \tan \dfrac{180^o}{n}

Đáp án

i) Bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác bằngb) \dfrac{a}{2 \sin \dfrac{180^o}{n}}
ii) Bán kính của đường tròn nội tiếp đa giác bằngc) \dfrac{a}{2 \tan \dfrac{180^o}{n}}

2) Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng

i) Cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn (O; R) bằnga) 2R
ii) Cạnh của lục giác đều nội tiếp đường tròn (O; R) bằngb) R \sqrt{3}
iii) Cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; R) bằngc) R \sqrt{2}
iv) Cạnh của hình vuông ngoại tiếp đường tròn (O; R) bằngd) R

Đáp án

i) Cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn (O; R) bằngc) R \sqrt{2}
ii) Cạnh của lục giác đều nội tiếp đường tròn (O; R) bằngd) R
iii) Cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; R) bằngb) R \sqrt{3}
iv) Cạnh của hình vuông ngoại tiếp đường tròn (O; R) bằnga) 2R

3) Cho một tam giác đều. Tỉ số giữa bán kính của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng

a) \dfrac{1}{4}

b) \dfrac{1}{3}

c) \dfrac{1}{2}

d) \dfrac{2}{3}

Đáp án

c)

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

1) Tính diện tích tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R)

Đáp án

Gọi H là giao điểm của AOBC ta có AH \perp BC

Tam giác OHB vuông tại H, \widehat{OBH} = 30^o nên {BH}={OB} . \cos 30^{\circ}={R} . \dfrac{\sqrt{3}}{2}, {OH}=\dfrac{{R}}{2}

Ta có {AH}={OA}+{OH}={R}+\dfrac{{R}}{2}=\dfrac{3 {R}}{2}

S_{A B C}=\dfrac{1}{2} B C . A H=B H . AH=\dfrac{R \sqrt{3}}{2} . \dfrac{3 R}{2}=\dfrac{3 R^{2} \sqrt{3}}{4}

2) Cho hình thang cân ABCD~(AB \parallel CD) ngoại tiếp đường tròn (O)

a) Chứng minh rằng AB + CD = AD + BC

b) Cho biết \widehat{C}=60^o và bán kính đường tròn bằng 3~cm. Tính diện tích hình thang

Đáp án

a) Gọi các tiếp điểm của AB, CD, BC, AD với đường tròn theo thứ tự là E, F, G, H

Ta có AE = AH, BE = BG, DF = DH, CF = CG nên AE + BE + DF + CF = AH + BG + DH + CG tức là AB + CD = AD + BC

b) Kẻ BK \perp CD ta có BK = 6~cm

Tam giác BKC vuông tại K nên BK = BC \sin \widehat{C}

\Rightarrow 6={BC}.\sin 60^{\circ} \Rightarrow 6={BC}.\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow {BC}=4 \sqrt{3}~cm

Do AB+CD=AD+BC nên AB+CD=4 \sqrt{3}+4\sqrt{3}=8\sqrt{3}~cm

S_{A B C D}=\dfrac{A B+C D}{2} . B K=\dfrac{8 \sqrt{3}}{2} .6=24 \sqrt{3}~cm^2

Với mọi tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn ta luôn có AB + CD = AD + BC

Mức độ nâng cao

Cho hình thang vuông ABCD~(\widehat{A} = \widehat{D}= 90^o) ngoại tiếp đường tròn (O; 3~cm). Biết AB = 4~cm. Tính các cạnh BCCD

Đáp án

Trước hết ta chứng minh được AB + CD = AD + BC (bạn đọc tự chứng minh)

Kẻ BK \perp CD. Đặt BC = x, KC = y

Ta có AB + CD = AD + BC nên 4 + 4 + y = 6+x suy ra x - y = 2 \qquad (1)

Mặt khác xét \Delta BKC vuông tại K ta có BC^2 - KC^2 = BK^2 nên x^2 - y^2 = 6^2 = 36

Suy ra (x + y) (x - y) = 36 \qquad (2)

Từ (1)(2) suy ra x + y = 18

Ta có 2x = 20 nên x = 10 suy ra y = 8

Vậy BC = 10~cm, CD = 8 + 4 = 12~cm

<< Tứ giác nội tiếpĐộ dài đường tròn, cung tròn >>