Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Bài này là bài số 37 trong 45 bài của series Tự học Toán 9

Kiến thức cơ bản

Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

Sai lầm cần tránh

SaiĐúng
Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn luôn là góc nhọn.Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn có thể là góc nhọn, góc vuông, góc tù

Trên hình góc AIC là góc tù

Câu hỏi trắc nghiệm

1) Điền vào chỗ trống (….)

Cho hình bên dưới trong đó sd\stackrel{\frown}{AB}=120^o

Số đo góc M bằng …

Đáp án

30^o

2) Điền vào chỗ trống (…)

Cho hình bên dưới trong đó \widehat{I}=40^o, sd\stackrel{\frown}{BD}=130^o

a) sd\stackrel{\frown}{AC}=\dots

b) \widehat{BKD}=\dots

Đáp án

a) 50^ob) 90^o

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

1) Cho hình bên dưới trong đó sd\stackrel{\frown}{BD}=70^o. Tính tổng \widehat{M}+\widehat{AIC}

Đáp án

\widehat{M} là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên \widehat{M}=\dfrac{ sd\stackrel{\frown}{BD}- sd\stackrel{\frown}{AC}}{2}

\widehat{AIC} là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên \widehat{AIC}=\dfrac{ sd\stackrel{\frown}{BD}+ sd\stackrel{\frown}{AC}}{2}

Suy ra \widehat{M}+\widehat{AIC}=sd\stackrel{\frown}{BD}=70^o

2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác của các góc AB cắt nhau ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở MN

a) Chứng minh rằng \stackrel{\frown}{MB}=\stackrel{\frown}{MC}, \stackrel{\frown}{NA}=\stackrel{\frown}{NC}

b) Chứng minh rằng MB = MI = MC

c) Gọi K là điểm đối xứng với I qua điểm M. Chứng minh rằng K là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC

Đáp án

a) Theo tính chất góc nội tiếp ta có

\widehat{BAM}=\widehat{MAC} \Rightarrow \stackrel{\frown}{MB}=\stackrel{\frown}{MC}

\widehat{ABN}=\widehat{NBC} \Rightarrow \stackrel{\frown}{NA}=\stackrel{\frown}{NC}

b) \widehat{BIM}=\dfrac{sd\stackrel{\frown}{MB}+sd\stackrel{\frown}{NA}}{2} (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)

\widehat{MBI}=\dfrac{ sd\stackrel{\frown}{MC}+sd\stackrel{\frown}{NC}}{2} (góc nội tiếp)

Ta lại có \stackrel{\frown}{MB}=\stackrel{\frown}{MC}, \stackrel{\frown}{NA}=\stackrel{\frown}{NC} nên \widehat{BIM} = \widehat{MBI}

Suy ra \Delta MBI cân tại M do đó MI = MB

\stackrel{\frown}{MB}=\stackrel{\frown}{MC} \Rightarrow MB = MC Vậy MB = MI = MC

c) Tam giác IBK có đường trung tuyến BM bằng nửa cạnh IK nên \widehat{IBK} = 90^o. Suy ra BK là tia phân giác góc ngoài của \Delta ABC

Tương tự CK là tia phân giác góc ngoài của \Delta ABC. Vậy K là tâm đường tròn bàng tiếp của \Delta ABC

Chú ý rằng I là tâm đường tròn nội tiêp \Delta ABC. Từ bài toán trên ta suy ra Đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC chia đoạn nối tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp thành hai phần bằng nhau

Mức độ nâng cao

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) các tia phân giác của các góc AB cắt nhau ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở DE. Chứng minh rằng

a) DB = DI = DC

b) DE là đường trung trực của IC

c) IF song song với BC với F là giao điểm của DEAC

Đáp án

a) \widehat{BID}=\dfrac{ sd\stackrel{\frown}{AE}+ sd\stackrel{\frown}{BD}}{2} (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)

\widehat{DBI}=\dfrac{ sd\stackrel{\frown}{CE}+ sd\stackrel{\frown}{CD}}{2} (góc nội tiếp)

Ta có \stackrel{\frown}{AE}=\stackrel{\frown}{CE}\stackrel{\frown}{BD}=\stackrel{\frown}{CD} nên \widehat{BID}=\widehat{DBI}. Suy ra DB=DI

Ta lại có \stackrel{\frown}{DB}=\stackrel{\frown}{DC} nên DB=DC

Vậy DB=DI=DC

b) Ta có DI = DC (câu a) tương tự EI = EC. Suy ra DE là đường trung trực của IC

c) F thuộc đường trung trực của IC nên FI = FC

\Delta FID = \Delta FCD~(c.c.c) nên \widehat{F_1}=\widehat{F_2} \qquad (1)

Tam giác CFK có tia phân giác CI vuông góc với FK nên là tam giác cân suy ra \widehat{F_2} = \widehat{K_1}\qquad (2)

Từ (1)(2) suy ra \widehat{F_1} = \widehat{K_1}. Hai góc này ở vị trí so le trong nên IF \parallel BC

<< Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dâyCung chứa góc >>