Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây

Bài này là bài số 36 trong 45 bài của series Tự học Toán 9

Kiến thức cơ bản

Định lí

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây đi qua tiếp điểm bằng nửa số đo của cung bị chắn

Hệ quả

Trong một đường tròn góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Sai lầm cần tránh

Cho đường tròn (O) tiếp tuyến MC cát tuyến MAB

SaiĐúng
MC^2=MA.ABMC^2=MA.MB

Câu hỏi trắc nghiệm

Hãy chọn phương án đúng (câu 1 đến câu 3)

1) Cho hình bên dưới trong đó xy là tiếp tuyến của đường tròn sd\stackrel{\frown}{CD}=120^o, \widehat{DCE}=40^o. Số đo góc \widehat{ECy} bằng

a) 40^o

b) 80^o

c) 60^o

d) 100^o

Đáp án

b)

2) Cho hình bên dưới trong đó xy là tiếp tuyến của nửa đường tròn sd\stackrel{\frown}{BC}=110^o. Số đo góc \widehat{ACx} bằng

a) 70^o

b) 55^o

c) 35^o

d) 40^o

Đáp án

c)

3) Số đo góc \widehat{BAx} của tia tiếp tuyến Ax và dây AB của đường tròn (O; R) bằng \alpha. Độ dài AB bằng

a) 2R \sin \alpha

b) R \sin \alpha

c) 2R \sin \dfrac{\alpha}{2}

d) 2R \tan \alpha

Đáp án

a)

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

Cho hai đường tròn (O)(O') tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ các cát tuyến chung BACDAE với BD thuộc (O), CE thuộc (O')

a) Chứng minh rằng BD song song với CE

b) Trong trường hợp nào thì BDCE là hình bình hành

Đáp án

a) Kẻ tiếp tuyến chung xAy của hai đường tròn

\widehat{ABD} = \widehat{DAx} (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cùng chắn cung AD)

\widehat{ACE} = \widehat{EAy} (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cùng chắn cung AE)

Ta lại có \widehat{DAx} = \widehat{EAy} (đối đỉnh) nên \widehat{ABD} = \widehat{ACE}. Hai góc này lại ở vị trí so le trong nên BD \parallel CE

b) BDCE là hình bình hành khi và chỉ khi AB = ACAD = AE

Các tam giác cân OABO'AC có góc ờ đáy bằng nhau (\widehat{OAB} = \widehat{O'AC}) nên đồng dạng suy ra \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{OA}{O'A}

Do đó AB = AC \Leftrightarrow OA = O'A

Vậy trong trường hợp hai đường tròn có bán kính bằng nhau thì AB = ACAD = AE khi đó BDCE là hình bình hành

Lưu ý

Tiếp tuyến chung xAy tạo ra hai góc bằng nhau \widehat{DAx}, \widehat{EAy}. Góc DAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax và dây AD của (O) nó bằng góc nội tiếp \widehat{B} của (O)

Góc EAy là góc tạo bởi tiếp tuyến Ay và dây AE của (O’) nó bằng góc nội tiếp \widehat{C} của (O')

Việc kẻ tiếp tuyến chung xAy làm cho các góc BC của hai đường tròn có quan hệ với nhau. Kẻ tiếp tuyến chung là một cách vẽ đường phụ thường dùng trong các bài toán về hai đường tròn tiếp xúc nhau

Mức độ nâng cao

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, điểm C nằm giữa AB. Đường vuông góc với AC tại C cắt cung ABD. Vẽ đường tròn (O') đường kính BC. Kẻ tiếp tuyến AE với đường tròn (O')

Chứng minh rằng AD = AE

Đáp án

Tam giác ADB vuông tại D đường cao DC nên AD^2 = AB.AC \qquad (1)

Xét \Delta ABE\Delta AEC ta có

\widehat{A} là góc chung

\widehat{ABE} = \widehat{AEC} (góc nội tiếp và góc tạo bỏi tia tiếp tuyến với dây cùng chắn cung EC)

\Delta ABE \sim \Delta AEC~(g.g) suy ra \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AB}{AE} do đó AE^2 = AB.AC \qquad (2)

Từ (1)(2) suy ra AD = AE

<< Góc nội tiếpGóc có đỉnh ở bên trong đường tròn >>