Hình bình hành

Bài này là bài số 27 trong 66 bài của series Tự học Toán 8

Kiến thức cơ bản

Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song

ABCD là hình bình hành \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}AB \parallel CD\\ AD \parallel BC\end{array}\right.

Tính chất

  • Các cạnh đối bằng nhau
  • Các góc đối bằng nhau
  • Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Dấu hiệu nhận biết

Một tứ giác là hình bình hành nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau

  • Có các cạnh đối song song
  • Có các cạnh đối bằng nhau
  • Có hai cạnh đối song song và bằng nhau
  • Có các góc đối bằng nhau
  • Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Sai lầm cần tránh

SaiĐúng
Nếu tứ giác ABCD\widehat{A}+\widehat{B}=\widehat{C}+\widehat{D}=180^o thì ABCD là hình bình hànhĐiều kiện \widehat{A}+\widehat{B}=\widehat{C}+\widehat{D}=180^o mới chứng tỏ AC \parallel BD tức là ABCD là hình thang

Câu hỏi trắc nghiệm

Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng khẳng định nào sai

a) Trong hình bình hành có hai góc nhọn và hai góc tù

b) Hình thang có hai góc kề một đáy bù nhau là hình bình hành

Đáp án

a) Saib) Đúng

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

Cho tam giác ABC trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. Đường vuông góc với BC tại M và đường vuông góc với AC tại N cắt nhau ở O

a) Trên tia đối của tia OC lấy điểm K sao cho OK=OC. Chứng minh rằng AHBK là hình bình hành

b) Chứng minh rằng OM=\dfrac{1}{2}AH

Đáp án

a) Tam giác KBCKO=OC, BM=MC nên OM là đường trung bình suy ra OM \parallel KB, OM=\dfrac{1}{2}KB

Ta lại có OM \parallel AH (cùng vuông góc với BC) suy ra KB \parallel AH

Chứng minh tương tự KA \parallel BH. Tứ giác AHBKKB \parallel AH, KA \parallel BH nên là hình bình hành

b) AHBK là hình bình hành nên KB=AH. Ta lại có OM=\dfrac{1}{2}KB nên OM=\dfrac{1}{2}AH

Trong một tam giác khoảng cách từ giao điểm các đường trung trực đến một cạnh bằng nửa khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh đối diện

Mức độ nâng cao

Cho tam giác ABC (\widehat{A} \neq 60^o). Ở phía ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác đều ABD, ACE. Vẽ hình bình hành DAEK. Chứng minh rằng KBC là tam giác đều

Đáp án

Giả sử \widehat{BAC}>60^o (trường hợp \widehat{BAC}<60^o chứng minh tương tự). Ta có \widehat{DAE}=360^o-60^o-60^o-\widehat{BAC}=240^o-\widehat{BAC}

Do đó DK \parallel AE nên \widehat{ADK}=180^o-\widehat{DAE}=180^o-(240^o-\widehat{BAC})=\widehat{BAC}-60^o

Suy ra \widehat{BAC}=\widehat{ADK}+60^o=\widehat{BDK}

\Delta BAC\Delta BDK

BA=BD

\widehat{BAC}=\widehat{BDK}

AC=AE=DK

Do đó \Delta BAC=\Delta BDK (c.g.c) suy ra BC=BK

Chứng minh tương tự BC=CK

Tam giác KBCBK=BC=CK nên là tam giác đều

<< Đối xứng trụcĐối xứng tâm >>