Hình nón

Bài này là bài số 44 trong 45 bài của series Tự học Toán 9

Kiến thức cơ bản

Khi quay tam giác AOC vuông tại O một vòng quanh cạnh OA cố định ta được một hình nón

Với hình nón có bán kính đáy r, đường sinh l và chiều cao h ta có

– Diện tích xung quanh bằng S_{x q}=\pi r l

– Diện tích toàn phần bằng S_{t p}=\pi r l+\pi r^{2}

– Thể tích bằng V=\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h

Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần hình nón nằm giữa mặt cắt và mặt đáy là một hình nón cụt

Để tính diện tích xung quanh hoặc thể tích của hình nón cụt ta có thể tính hiệu diện tích xung quanh hoặc thể tích của hai hình nón hoặc dùng công thức sau {S}_{{xq}}=\pi\left({r}_{1}+{r}_{2}\right) l ; {V}=\dfrac{1}{3} \pi {h}\left({r}_{1}^{2}+{r}_{2}^{2}+{r}_{1} {r}_{2}\right) trong đó r_1r_2 là các bán kính đáy, l là đường sinh và h là chiều cao của hình nón cụt

Sai lầm cần tránh

Một hình nón có bán kính đáy bằng 1~cm, đường sinh bằng 3~cm. Khi khai triển mặt xung quanh của hình nón đó ta được hình quạt

SaiĐúng

sd\stackrel{\frown}{AB}=120^osd\stackrel{\frown}{AB}=360^o.\dfrac{1}{3}

Câu hỏi trắc nghiệm

1) Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng

i) Hình khai triển mặt xung quanh của một hình trụ làa) một tam giác cân
ii) Hình khai triển mặt xung quanh của một hình nón làb) một hình chữ nhật
c) một hình quạt

Đáp án

i) Hình khai triển mặt xung quanh của một hình trụ làb) một hình chữ nhật
ii) Hình khai triển mặt xung quanh của một hình nón làc) một hình quạt

2) Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng khẳng định nào sai

a) Diện tích xung quanh của hình nón bằng chu vi đáy nhân với đường sinh

b) Diện tích xung quanh của hình nón bằng nửa chu vi đáy nhân với đường sinh

c) Thể tích của hình nón bằng \dfrac{1}{2} diện tích đáy nhân với chiều cao

d) Thể tích của hình nón bằng \dfrac{1}{3} diện tích đáy nhân với chiều cao

Đáp án

a) Saib) Đúngc) Said) Đúng

3) Một hình nón và một hình trụ có bán kính đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau. Tỉ số các thể tích của hình trụ và hình nón bằng

a) \dfrac{1}{2}

b) \dfrac{1}{3}

c) 4

d) 3

Hãy chọn phương án đúng

Đáp án

d)

4) Một hình nón có diện tích xung quanh bằng 960~cm^2, chu vi đáy bằng 48~cm. Đường sinh của hình nón đó bằng

a) 20~cm

b) 40~cm

c) 10~cm

d) 80~cm

Hãy chọn phương án đúng

Đáp án

b)

5) Một hình nón có thế tích bằng 264~dm^3 chiều cao bằng 7~dm. Bán kính đáy của hình nón đó bằng (lấy \pi=\dfrac{22}{7})

a) 6~dm

b) \sqrt{12}~cm

c) 12~cm

d) 36~dm

Hãy chọn phương án đúng

Đáp án

a)

Ví dụ minh họa

Mức độ nâng cao

1) Một hình nón có bán kính đáy bằng r, diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Tính theo r

a) Diện tích xung quanh của hình nón

b) Thể tích của hình nón

Đáp án

a) Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy nên \pi {r} l=2 \pi {r}^{2} suy ra l=2r

Vậy \pi {r} l=\pi {r} . 2 {r}=2 \pi {r}^{2}. Diện tích xung quanh bằng 2 \pi r^2

b) Xét \Delta SOA vuông ta có {h}^{2}=l^{2}-{r}^{2}=(2 {r})^{2}-{r}^{2}=3 {r}^{2} nên {h}={r} \sqrt{3}

Thể tích hình nón bằng {V}=\dfrac{1}{3} \pi {r}^{2} {h}=\dfrac{1}{3} \pi {r}^{2} . {r} \sqrt{3}=\dfrac{\pi {r}^{3} \sqrt{3}}{3}

2) Một hình nón có bán kính đáy bằng r đường sinh bằng l. Khai triển mặt xung quanh của hình nón ta được một hình quạt. Tính số đo cung của hình quạt theo rl

Đáp án

Chu vi đáy của hình nón cũng là độ dài cung AB của hình quạt bằng 2 \pi r

Độ dài toàn bộ đường tròn (S; SA) bằng 2 \pi l

Số đo cung AB của hình quạt bằng 360^o . \dfrac{2 \pi r}{2 \pi l}=360^o. \dfrac{r}{l}

3) Một hình nón cụt có các bán kính đáy bằng a2a. Chiều cao bằng a

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt

b) Tính thể tích của hình nón cụt

Đáp án

a) Trong mặt phẳng OABO' . Kẻ AH \perp O'B. Ta có O'H=OA=a nên HB =a. Tam giác AHB vuông cân nên AB = HB \sqrt{2} = a \sqrt{2}

S_{x q}=\pi\left(r_{1}+r_{2}\right) l=\pi(a+2 a) . a \sqrt{2}=3 \pi a^{2} \sqrt{2}

b) {V}=\dfrac{1}{3} \pi {a}\left[{a}^{2}+(2 {a})^{2}+{a} . 2 {a}\right]=\dfrac{7}{3} \pi {a}^{3}

Mức độ nâng cao

1) Một hình nón có bán kính đáy bằng 20~cm, số đo thể tích (tính bằng cm^3) bằng bốn lần số đo diện tích xung quanh (tính bằng cm^2). Tính chiều cao của hình nón

Đáp án

Gọi h là chiều cao của hình nón. Thể tích của hình nón bằng V=\dfrac{1}{3} \pi . 20^{2} . h=\dfrac{400}{3} \pi h

Đường sinh SA bằng \sqrt{h^{2}+20^{2}}

Diện tích xung quanh của hình nón bằng {S}_{{xq}}=\pi .20 \sqrt{{h}^{2}+400}

Do V=4S_{xq} nên \dfrac{400}{3} \pi {h}=4.20 \pi \sqrt{{h}^{2}+400}

\Leftrightarrow 5 h=3 \sqrt{h^{2}+400} \Leftrightarrow 25 h^{2}=9\left(h^{2}+400\right)

\Leftrightarrow {h}^{2}=225 \Leftrightarrow {h}=15

Chiều cao của hình nón bằng 15~cm

2) Cho tam giác ABC vuông tại A. AC = b, AB = c, b < c. Quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh AB ta được một hình nón có diện tích xung quanh S_1, diện tích toàn phần S'_1 và thể tích V_1

Quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AC ta được một hình nón có diện tích xung quanh S_2, diện tích toàn phần S'_2 và thể tích V_2

a) So sánh S_1S_2

b) So sánh S'_1S'_2

c) So sánh V_1V_2

Đáp án

Xét hình nón thứ nhất và hình nón thứ hai

a) S_{1}=\pi b . B C, S_{2}=\pi c . BC nên \dfrac{S_{1}}{S_{2}}=\dfrac{b}{c}<1

Suy ra S_1<S_2

b) S'_{1}=S_{1}+\pi b^{2}, S'_{2}=S_{2}+\pi c^{2}

Do S_{1}<S_{2}b<c nên S'_{1}<S'_{2}

c) V_{1}=\dfrac{1}{3} \pi b^{2} c, V_{2}=\dfrac{1}{3} \pi c^{2} b nên \dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{b}{c}<1

Suy ra V_{1}<V_{2}

<< Hình trụHình cầu >>