Hình trụ

Bài này là bài số 43 trong 45 bài của series Tự học Toán 9

Kiến thức cơ bản

Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh CD cố định ta được một hình trụ

Với hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h ta có

– Diện tích xung quanh bằng S_{xq}=2 \pi {rh}

– Diện tích toàn phần bằng S_{tp}=2 \pi r h+2 \pi r^{2}

– Thể tích bằng V=\pi r^{2} h

Sai lầm cần tránh

Một ống thủy tinh hình trụ đựng nước đặt nghiêng

SaiĐúng
Mặt nước trong ống là một hình trònMặt nước trong ống không phải là một một hình tròn đó là một hình elíp

Câu hỏi trắc nghiệm

Hãy chọn phương án đúng

1) Một hình trụ có đường kính đáy và chiều cao đều bằng 6~dm. Diện tích toàn phần của hình trụ đơn vị dm^2 bằng

a) 36 \pi

b) 54 \pi

c) 144 \pi

d) 45 \pi

Đáp án

b)

2) Một hình trụ có chiều cao bằng 7~cm thể tích bằng 352~cm^3. Bán kính đáy của hình trụ bằng (lấy \pi=\dfrac{22}{7})

a) 16~cm

b) 8~cm

c) 4~cm

d) \sqrt{8}~cm

Đáp án

c)

3) Cho hai hình trụ hình trụ thứ nhất có bán kính đáy bằng nửa bán kính đáy của hình trụ thứ hai và có chiều cao gấp bốn lần chiều cao của hình trụ thứ hai. Tỉ số các thể tích của hình trụ thứ nhất và hình trụ thứ hai bằng

a) 1

b) 2

c) \dfrac{1}{2}

d) \dfrac{3}{2}

Đáp án

a)

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

Một hình trụ có diện tích đáy bằng 50~cm^2 chiều cao bằng đường kính đáy. Tính diện tích xung quanh của hình trụ

Đáp án

Gọi bán kính đáy là r. Chiều cao của hình trụ bằng 2r. Theo đề bài \pi r^{2}=50

{S}_{{xq}}=2 \pi {rh}=2 \pi {r} . 2 {r}=4 \pi {r}^{2}=4.50=200~cm^2

2) Để đo thể tích của một viên đá người ta cho viên đá đó vào trong một bình hình trụ rồi đổ nước cho ngập viên đá khi đó mực nước trong bình cao 20~cm. Sau đó người ta lấy viên đá ra khỏi bình khi đó mực nước trong bình cao 17~cm

Tính thể tích của viên đá biết đường kính đáy của hình trụ bằng 20~cm

Đáp án

Thể tích của viên đá bằng thế tích của một hình trụ có đường kính đáy 20~cm và chiều cao 20-17=3~cm. Thể tích của viên đá bằng

V=\pi r^{2} h=\pi . 10^{2} . 3=300 \pi \approx 942~cm^3

Mức độ nâng cao

Một hình trụ có mặt cắt đi qua trục là một hình chữ nhật có chiều dài 4~m chiều rộng 3~m. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ

Đáp án

Xét hai trường hợp

Trường hợp 1 Chiều cao của hình trụ bằng 4~m. Khi đó r = 1,5~m

S_{xq}=2 \pi r h=2 \pi .1,5.4=12 \pi~m^2

V=\pi r^{2} h=\pi .1,5^{2} . 4=9 \pi~m^3

Trường hợp 2 Chiều cao của hình trụ bằng 3~m. Khi đó r = 2~m

S_{xq}=2 \pi r h=2 \pi .2 .3=12 \pi~m^2

V=\pi r^{2} h=\pi . 2^{2} . 3=12 \pi~m^3

Lưu ý

Cần xét đủ hai trường hợp của bài toán

Trong hai trường hợp diện tích xung quanh của hình trụ đều bằng nhau nhưng thể tích khác nhau. Thể tích của hình trụ sẽ lớn hơn khi ta lấy chiều rộng của mặt cắt làm chiều cao

Có thể chứng minh được đều đó. Giả sử mặt cắt đi qua trục của hình trụ có chiều dài a, chiều rộng b với a>b

Nếu chiều cao của hình trụ bằng a ta có {V}_{1}=\pi .\left(\dfrac{{b}}{2}\right)^{2} . {a}=\dfrac{\pi {ab}^{2}}{4}

Nếu chiều cao của hình trụ bằng b ta có {V}_{2}=\pi .\left(\dfrac{{a}}{2}\right)^{2} . {b}=\dfrac{\pi {a}^{2} {b}}{4}

Ta có V_{1}: V_{2}=\dfrac{\pi a b^{2}}{4}: \dfrac{\pi a^{2} b}{4}=\dfrac{b}{a}<1. Vậy V_1<V_2

<< Diện tích hình tròn, hình quạt trònHình nón >>