Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài này là bài số 4 trong 66 bài của series Tự học Toán 8

Kiến thức cơ bản

1. Bình phương của một tổng hai biểu thức bằng bình phương của biểu thứ thứ nhất cộng hai lần tích của hai biểu thức cộng bình phương của biểu thức thứ hai (A+B)^2=A^2+2AB+B^2

2. Bình phương của một hiệu hai biểu thức bằng bình phương của biểu thứ thứ nhất trừ hai lần tích của hai biểu thức cộng bình phương của biểu thức thứ hai (A-B)^2=A^2-2AB+B^2

Ta luôn có (A-B)^2=(B-A)^2

3. Hiệu các bình phương của hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức với hiệu của chúng A^2-B^2=(A+B)(A-B)

4. Lập phương của một tổng hai biểu thức (A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng (A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B)

5. Lập phương của một hiệu hai biểu thức (A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3

Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng (A-B)^3=A^3-B^3-3AB(A-B)

6. Tổng các lập phương của hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hay biểu thức ấy A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

Lưu ý

A^2-2AB+B^2 gọi là bình phương của hiệu AB

A^2-AB+B^2 gọi là bình phương thiếu của hiệu AB

7. Hiệu các lập phương của hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức ấy A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

Lưu ý

A^2+2AB+B^2 gọi là bình phương của hiệu AB

A^2+AB+B^2 gọi là bình phương thiếu của hiệu AB

Xem thêm Nhân đa thức với đa thức

Sai lầm cần tránh

Sai Đúng
(x+y)(y-x)=x^2-y^2 (x+y)(y-x)=y^2-x^2
(x-y)^3=x^3-y^3+3xy(x-y) (x-y)^3=x^3-y^3-3xy(x-y)
a^3+b^3=(a+b)(a^2+ab+b^2) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

Câu hỏi trắc nghiệm

Hãy chọn phương án đúng

1) Điền hằng số nào sau đây vào chỗ trống của biểu thức x^2+3x+\cdots để được bình phương của một nhị thức

a) \dfrac{1}{4}

b) \dfrac{9}{4}

c) 9

d) 1

Đáp án

b)

2) Cho biết x^2-y^2=\dfrac{5}{36}x-y=\dfrac{1}{6}. Các số xy theo thứ tự bằng

a) \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}

b) 1\dfrac{5}{6}

c) 1-\dfrac{5}{6}

d) \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}

Đáp án

d)

3) (a+b)^3-(a-b)^3=

a) 6ab^2

b) 2a^3+6ab^2

c) 6a^2b+2b^3

d) 6ab^2+2b^3

Hãy chọn phương án đúng

Đáp án

c)

4) Hãy nối mỗi ô của cột bên trái với một ô của cột bên phải để được khẳng định đúng

i) (x+2)^3 a) x^3-8-6x(x-2)
ii) (x-2)^3 b) x^3+6x^2+12x+8
  c) x^3+6x^2+6x+8
  d) x^3-6x+12x^2-8

Đáp án

i) (x+2)^3 b) x^3+6x^2+12x+8
ii) (x-2)^3 a) x^3-8-6x(x-2)

5) (a-b)(a^2-2ab+b^2)=

a) a^3-b^3

b) (a-b)^3

c) a^3+b^3

d) (a+b)^3

Hãy chọn phương án đúng

Đáp án

b)

6) Hãy nối mỗi ô của cột bên trái với một ô của cột bên phải để được khẳng định đúng

i) x^3+8 a) (x-2)(x^2-2x+4)
ii) x^3-8 b) (x+2)(x^2-4x+4)
  c) (x-2)(x^2+2x+4)
  d) (x+2)(x^2-2x+4)

Đáp án

i) x^3+8 d) (x+2)(x^2-2x+4)
ii) x^3-8 c) (x-2)(x^2+2x+4)

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

1) Rút gọn biểu thức

A=\left(5a+\dfrac{1}{2}\right)^2-2\left(25a^2-\dfrac{1}{4}\right)+ \left(5a-\dfrac{1}{2}\right)^2

Đáp án

Cách 1

A=25a^2+5a+\dfrac{1}{4}-50a^2+\dfrac{1}{2}+25a^2-5a+\dfrac{1}{4}=1

Cách 2

A=\left[\left(5a+\dfrac{1}{2}\right)- \left(5a-\dfrac{1}{2}\right)\right]^2=1^2=1

2) Tính nhẩm

a) 49^2

b) 23^2-21^2

Đáp án

a) 49^2=(50-1)^2=50^2-100+1=2401

b) 23^2-21^2=(23+21)(23-21)=88

3) Tính giá trị của biểu thức

a) A=x^3+3x^2+3x tại x=29

b) B=x^3-6x^2+12x+10 tại x=22

Đáp án

a) A=(x^3+3x^2+3x+1)-1=(x+1)^3-1

Thay x=29 vào biểu thức ta được (29+1)^3-1=30^3-1=26999

b) B=(x^3-6x^2+12x-8)+18=(x-2)^3+18

Thay x=22 vào biểu thức ta được (22-2)^3+18=8018

4) Rút gọn biểu thức A=(x^2-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)

Đáp án

A=(x^2-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)

=(x^3-1)(x^3+1)

=x^6-1

Mức độ nâng cao

1) Nêu hai cách điền vào chỗ trống của biểu thức x^4+x^2+\cdots+ để được bình phương của một nhị thức

Đáp án

Cách 1

x^4+x^2+\dfrac{1}{4}=(x^2)^2+2.x^2.\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\left(x^2+\dfrac{1}{2}\right)^2

Cách 2

x^4+x^2+2x^3=(x^2)^2+x^2+2.x^2.x=(x^2+x)^2

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức

a) A=4x^2-12x+15

b) B=x^2-x+1

Đáp án

a) A=4x^2-12x+9+6=(2x-3)^2+6 \geq 6

Giá trị nhỏ nhất của A bằng 6 tại x=\dfrac{3}{2}

b) B=x^2-x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4} \geq \dfrac{3}{4}

Giá trị nhỏ nhất của B bằng \dfrac{3}{4} tại x=\dfrac{1}{2}

3) Rút gọn biểu thức A=(a+b+1)^3-(a+b-1)^3-6(a+b)^2

Đáp án

Ta thấy biểu thức a+b được lập lại nhiều lần. Để cho gọn ta đặt a+b=x. Do đó

A=(x+1)^3-(x-1)^3-6x^2

=x^3+3x^2+3x+1-(x^3-3x^2+3x-1)-6x^2

=x^3+3x^2+3x+1-x^3+3x^2-3x+1-6x^2

=2

4) Tính a^3+b^3 biết a+b=7ab=3

Đáp án

Ta có (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) nên

a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=7^3-3.3.7=280

<< Nhân đa thức với đa thứcPhân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung >>