Phương pháp phản chứng

Kiến thức cơ bản

Phản chứng là một trong các phương pháp chứng minh gián tiếp Để chứng tỏ kết luận của bài toán là đúng ta chứng mình đều trái lại với nó là sai

Sơ đồ của chứng minh bằng phản chứng gồm ba bước

  • Bước 1 Giả sử có điều trái với kết luận của bài toán
  • Bước 2 Từ điều giả sử trên và từ giả thuyết của bài toán ta suy ra điều mâu thuẫn với giả thuyết hay với kiến thức đã học
  • Bước 3 Vậy kết luận của bài toán là đúng

Xem thêm Phương pháp tương tự hóa

Ví dụ minh họa

Đại số

1) Chứng minh rằng nếu (a, b)=1 thì (a^2, a+b)=1

Đáp án

Giả sử a^2a+b không nguyên tố cùng nhau thì a^2a+b cùng chia hết cho một số nguyên tố d. Suy ra a~\vdots~d do đó b~\vdots~d

Như vậy ab cùng chia hết cho một số nguyên tố d điều này trái với giả thuyết (a, b)=1

Vậy (a^2, a+b)=1

2) Chứng minh rằng nếu một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục của nó là chữ số lẻ

Đáp án

Giả sử có một số chính phương tận cùng bằng 6 mà có chữ số hàng chục là chữ số chẵn thì số chính phương đó tận cùng bằng 06, 26, 46, 66 hoặc 86. Các số chính phương này không chia hết cho 4 \qquad (*)

Mặt khác các số chính phương tận cùng bằng 6 thì chia hết cho 2. Số chính phương phải chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. Do đó mọi số chính phương tận cùng bằng 6 phải chia hết cho 4 trái với \qquad(*)

Vậy số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục phải là chữ số lẻ

Có những số chính phương như vậy chẳng hạn 16=4^2, 36=6^2

3) Có tồn tại số tự nhiên có ba chữ số nào sao cho cộng nó với số gồm chính ba chữ số ấy nhưng viết theo thứ tự khác để được tổng bằng 999 hay không

Đáp án

Giả sử phép cộng abc+a'b'c'=999

Trong đó a', b', c' là các chữ số của số đã cho \overline{abc}. Gọi a+b+c=m thì a'+b'+c'=m

Chú ý rằng phép cộng trên không có nhớ tất cả các cột do đó c+c'=9, b+b'=9, a+a'=9. Suy ra

(a+b+c)+(a'+b'+c')=27

m+n=27

2m=27

m=13,5 vô lí

Vậy không tồn tại số tự nhiên nào có ba chữ số sao cho cộng với số gồm chính ba chữ số ấy nhưng viết theo thứ tự khác để được tổng bằng 999

4) Trong một vòng thi đấu cờ tướng có 9 đấu thủ tham gia

a) Có thời điểm nào mà mỗi đấu thủ đều đã đấu đúng 5 ván hay không

b) Chứng minh rằng số ván đã đấu của mỗi người không thể đều là số lẻ

Đáp án

a) Giả sử rằng mỗi người đều đã đấu đúng 5 ván thì số ván cờ đã đấu của giải là \dfrac{5.9}{2} vô lí vì số ván cờ không là số tự nhiên

Vậy không có thời điểm nào mà mỗi đấu thủ đều đã đấu đúng 5 ván

b) Giả sử 9 đấu thủ đã đấu lần lượt là a_1, a_2, a_3 , \dots, a_9 ván (a_i lẻ, 1 \leq i \leq 9)

Khi đó số ván đã đấu của giải là \dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_9}{2}. Phân số trên có tử là số lẻ (là tổng của 9 số hạng và mỗi số hạng đều lẻ) và mẫu bằng 2 nên không là số tự nhiên

Vậy số ván đã đấu của mỗi người không thể điều là số lẻ

Hình học

Chứng minh rằng nếu một tam giác có một góc 30^o và cạnh đối diện với góc ấy bằng nửa một cạnh khác thì tam giác đó là tam giác vuông

Đáp án

Xét \Delta ABC\widehat{B}=30^o, AC=\dfrac{BC}{2}. Ta sẽ chứng minh rằng \widehat{A}=90^o

Thật vậy

Giả sử \widehat{BAC} \neq 90^o. Qua C ta vẽ CH \perp AB thì H không trùng A do đó CH<CA \qquad (1)

Tam giác vuông HBC\widehat{B}=30^o nên CH=\dfrac{BC}{2}AC=\dfrac{BC}{2} (giả thuyết) do đó CH=CA \qquad (2)

(2) mâu thuẫn với (1)

Vậy \widehat{BAC} phải bằng 90^o