Thể tích của hình hộp chữ nhật

Bài này là bài số 60 trong 66 bài của series Tự học Toán 8

Kiến thức cơ bản

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu đường thẳng (a) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (P) thì đường thẳng (a) vuông góc với mặt phẳng (P)

Nếu đường thẳng (a) vuông góc với mặt phẳng (P) tại điểm I thì nó vuông góc với mọi đường thẳng đi qua I và nằm trong mặt phẳng (P)

Trên hình AA' \perp AB, AA' \perp AD nên AA' \perp mp(ABCD); AA' \perp mp(ABCD) nên AA' \perp AC

Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu mặt phẳng (Q) chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P)

Trên hình AA' \perp mp(ABCD) nên mp(AA'B'B) \perp mp(ABCD)

Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính theo công thức V=abc trong đó a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật

Thể tích của hình lập phương được tính theo công thức V=a^3 trong đó a là cạnh của hình lập phương

Sai lầm cần tránh

Nếu mỗi cạnh của một hình lập phương tăng 20\% thì thể tích của hình lập phương đó tăng bao nhiêu phần trăm

SaiĐúng
Thể tích của hình lập phương tăng 20\%.3=60\%Thể tích của hình lập phương mới bằng 1,2^3=1,728=172,8\% so với thể tích cũ
Vậy thể tích của hình lập phương tăng 72,8 \%

Câu hỏi trắc nghiệm

1) Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng khẳng định nào sai

a) Nếu hai đường thẳng (a)(b) cùng song song với đường thẳng (c) thì (a) song song với (b)

b) Nếu hai đường thẳng (a)(b) cùng vuông góc với đường thẳng (c) thì (a) song song với (b)

c) Nếu hai đường thẳng (a) vuông góc với các đường thẳng (b)(c) của mặt phẳng (P) thì (a) vuông góc với mặt phẳng (P)

Đáp án

a) Đúngb) Saic) Sai

Trên hình ABAD cùng vuông góc với AA' nhưng chúng không song song. AA' vuông góc với ABA'B' nhưng không vuông góc với mp(ABB'A')

Ví dụ chứng tỏ các khẳng định b) và c) là sai

2) Một hố nhảy hình hộp chữ nhật có kích thước đáy 4~m8~m. Người ta rải một lớp cát dày 20~cm. Thể tích của lớp cát bằng

a) 32~m^3

b) 6,4~m^3

c) 4,8~m^3

d) 640~m^3

Hãy chọn phương án đúng

Đáp án

b)

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

1) Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 3~cm

a) Tứ giác ADC'B' là hình gì? Vì sao?

b) Tính thể tích của hình hợp chữ nhật biết diện tích tứ giác ADC'B' bằng 15~cm^2

Đáp án

a) Tứ giác ADC'B'AD \parallel B'C' (vì cùng song song với BC), AD=B'C' (vì cùng bằng BC) nên là hình bình hành

Ta có AD \perp mp(ABB'A') (vì AD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau ABAA') nên AD \perp AB'

Hình bình hành ADC'B'\widehat{DAB'}=90^o nên là hình chữ nhật

b) B'A=S_{ADC'B'}:AD=15:3=5~cm

A'A^2=B'A^2-A'B'^2=5^2-3^2=4^2 nên AA'=4~cm

Thể tích của hình hộp chữ nhật bằng 3.3.4=36~cm^3

Các đoạn thẳng AD, B'C' bằng nhau và song song nên trên hình chúng được vẽ bằng nhau. Các đoạn thẳng A'B'B'C' bằng nhau nhưng không song song nên trên hình ta không vẽ chúng bằng nhau

2) Ở góc một xưởng máy người ta đặt một thùng hình hộp chữ nhật để chứa các thanh kim loại thừa. Thùng dài 2~m, rộng 1~m, cao 1~m. Một thanh sắt dài 2,4~m có thể đặt lọt vào trong thùng đó được không?

Đáp án

Độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng \sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt{6} \approx 2,449~m

Vậy thanh sắt dài 2,4~m có thể đặt lọt vào trong thùng

Mức độ nâng cao

1) Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 1~dmBD=BB'

a) Tính đường chéo B'D của hình hộp chữ nhật

b) Tính số đo góc A'DB'

Đáp án

a) Tam giác BCD vuông cân tại C nên BD^2=BC^2+CD^2=1^2+1^2=2

Tam giác DBB' vuông cân nên B'D^2=BD^2+B'B^2=2BD^2=2.2=4

Suy ra B'D=2~dm

b) Tam giác DA'B' vuông tại A'A'B'=\dfrac{1}{2}B'D (vì A'B'=1, B'D=2) nên \widehat{A'DB'}=30^o

2) Một hình lập phương được tạo thành bởi những hình lập phương nhỏ cạnh 1. Người ta sơn phía ngoài hình lập phương lớn rồi tháo rời ra thì thấy 27 hình lập phương nhỏ không được sơn. Tính độ dài cạnh của hình lập phương lớn

Đáp án

Các hình lập phương nhỏ được sơn nằm ở phía ngoài của hình lập phương lớn. Bóc các hình lập phương nhỏ được sơn ra ngoài còn lại các hình lập phương nhỏ không được sơn

Gồm 27 hình theo đề bài chúng tạo thành một hình lập phương có thể tích bằng 27 nên có cạnh bằng 3

Vậy độ dài cạnh của hình lập phương lớn bằng 3+2=5

<< Hình hộp chữ nhậtHình lăng trụ đứng >>