Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài này là bài số 56 trong 56 bài của series Tự học Toán 7

Kiến thức cơ bản

Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác

Trên hình. H là trực tâm của \Delta ABC. Nếu tam giác ABC nhọn thì H nằm trong tam giác. Nếu tam giác ABC vuông thì H trùng với đỉnh góc vuông. Nếu tam giác ABC có góc tù thì H nằm ngoài tam giác

Trong một tam giác cân đường cao ứng với cạnh đáy cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

Trong một tam giác nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân

Sai lầm cần tránh

Cho tam giác ABC\widehat{A}=60^o (\widehat{B}, \widehat{C} \neq 90^o). Các đường cao BDCE cắt nhau tại H. Tính \widehat{EHD}

Thiếu Đủ
\widehat{CHD}=\widehat{A}=60^o (cùng phụ \widehat{ACE}) Suy ra \widehat{EHD}=120^o
Trường hợp \widehat{B}\widehat{C} là những góc nhọn thì \widehat{EHD}=120^o (giải như cột bên trái)
Trường hợp \widehat{B} hoặc \widehat{C} tù ta vẫn có \widehat{CHD}=60^o nhưng \widehat{EHD}=\widehat{CDH}=60^o

Câu hỏi trắc nghiệm

1) Cho hình. Điền vào chỗ trống (…)

a) H là trực tâm của tam giác …

b) A là trực tâm của tam giác …

c) B là trực tâm của tam giác …

d) C là trực tâm của tam giác …

Đáp án

a) ABCb) HBCc) HACd) HAB

2) Điền vào chỗ trống (…)

a) Tam giác ABC\widehat{A}=65^o, \widehat{B}=25^o. Trực tâm của tam giác đó là điểm …

b) Tam giác ABC\widehat{A}=55^o, \widehat{B}=25^o. Trực tâm của tam giác đó nằm … tam giác

Đáp án

a) Cb) ngoài

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

1) Cho tam giác ABC có đường cao AH cũng là đường trung tuyến. Gọi Ax là tia phân giác của góc ngoài đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng Ax song song BC

Đáp án

Tam giác ABC có đường cao AH cũng là đường trung tuyến nên tam giác ABC cân tại A. Suy ra AH là tia phân giác của góc A

AxAH là các tia phân giác của hai góc kề bù nên Ax \perp AH

Ax \perp AHBC \perp AH nên Ax \parallel BC (cùng vuông góc với AH)

2) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và đường phân giác BD cắt nhau ở I. Lấy điểm E trên cạnh BC sao cho BE=BA. Chứng minh rằng

a) EI vuông góc với AB

b) EI song song với AC

Đáp án

a) Tam giác ABCBE=BA nên là tam giác cân tại B. Ta lại có BD là tia phân giác của góc B nên BD \perp AE

Tam giác ABEAI \perp BEBI \perp AE nên I là trực tâm suy ra EI \perp AB

b) Ta có EI \perp ABAC \perp AB nên EI \parallel AC (cùng vuông góc với AB)

Mức độ nâng cao

1) Tam giác ABC\widehat{A}=45^o. Các đường cao ADBE cắt nhau ở H. Chứng minh rằng

a) AE=BE

b) AH=BC

Đáp án

a) Tam giác AEB vuông tại E, \widehat{EAB}=45^o nên \widehat{EBA}=45^o. Suy ra AE=BE

b) \Delta EAH\Delta EBC

\widehat{AEH}=\widehat{BEC}=90^o

AE=BE (câu a)

\widehat{EAH}=\widehat{EBC} (cùng phụ với \widehat{C})

Do đó \Delta EAH=\Delta EBC (g.c.g) suy ra AH=BC

2) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB<AC. Gọi d là đường thẳng đi qua trung điểm M của AC và vuông góc với BC. Đường vuông góc với AC tại C cắt dE

a) Gọi I là giao điểm của dAB. Chứng minh rằng AE song song với CI

b) Chứng minh rằng AE vuông góc với BM

Đáp án

a) \Delta AMI\Delta CME

\widehat{MAI}=\widehat{MCE}=90^o

MA=MC (giả thuyết)

\widehat{AMI}=\widehat{CME} (đối đỉnh)

Do đó \Delta AMI=\Delta CME (g.c.g) suy ra MI=ME

\Delta AME\Delta CMI

MA=MC (giả thiết)

\widehat{AME}=\widehat{CMI} (đối đỉnh)

MI=ME (chứng minh trên)

Do đó \Delta AME=\Delta CMI (g.c.g) suy ra \widehat{E_1}=\widehat{I_1}

Vậy AE \parallel CI

b) Tam giác IBCIM \perp BC, CM \perp BI nên M là trực tâm suy ra BM \perp CI

Ta lại có AE \parallel CI (câu a) nên BM \perp AE

Câu a) là gợi ý để chứng minh câu b)

<< Tính chất ba đường trung trực của tam giác