Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài này là bài số 55 trong 56 bài của series Tự học Toán 7

Kiến thức cơ bản

Trong một tam giác cân đường trung trực của cạnh đáy cũng là đường trung tuyến và đường phân giác

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó

Trên hình. Điểm O là giao điểm các đường trung trực của \Delta ABC. Ta có OA=OB=OC. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Nếu tam giác ABC nhọn thì O nằm trong tam giác. Nếu tam giác ABC vuông thì O là trung điểm của cạnh huyền. Nếu tam giác ABC tù thì O nằm ngoài tam giác

Sai lầm cần tránh

Cho tam giác \Delta ABC\widehat{A}=\alpha. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Tính \widehat{BOC}

Thiếu Đủ
Ta có \widehat{O_1}=2\widehat{A_1}, \widehat{O_2}=2\widehat{A_2} nên \widehat{O_1}+\widehat{O_2}=2(\widehat{A_1}+\widehat{A_2})
Tức \widehat{BOC}=2\alpha

Trường hợp \alpha \leq 90^o thì \widehat{BOC}=2\alpha (chứng minh như ở cột bên trái)
Trường hợp \alpha>90^o \widehat{AOB}=180^o-2\widehat{A_1} \widehat{AOC}=180^o-2\widehat{A_2}
nên \widehat{AOB}+\widehat{AOC}=360^o-2(\widehat{A_1}+\widehat{A_2})
Tức là \widehat{BOC}=360^o-2\alpha

Câu hỏi trắc nghiệm

Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Điểm I thuộc đoạn thẳng AM. Điền vào chỗ trống (…)

a) Nếu AI=2IM thì I là giao điểm của ba đường …

b) Nếu \widehat{IAC}=\widehat{ICA} thì I là giao điểm của ba đường …

c) Nếu \widehat{ICB}=\widehat{ICA} thì I là giao điểm của ba đường …

Đáp án

a) trung tuyếnb) trung trựcc) phân giác

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

Cho tam giác ABC cân tại A, O là giao điểm của ba đường trung trực. Lấy D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD=CE. Chứng minh rằng

a) OA=OB=OC

b) O nằm trên đường trung trực của DE

Đáp án

a) O là giao điểm của ba đường trung trực của \Delta ABC nên OA=OB=OC

b) OA=OC nên \widehat{A_2}=\widehat{C_1} \qquad (1)

Tam giác ABC cân tại A, AO là đường trung trực nên \widehat{A_1}=\widehat{A_2} \qquad (2)

Từ (1)(2) suy ra \widehat{A_1}=\widehat{C_1}

\Delta OAD\Delta OCE

OA=OC (câu a)

\widehat{A_1}=\widehat{C_1} (chứng minh trên)

AD=CE (giả thuyết)

Do đó \Delta OAD=\Delta OCE (c.g.c) suy ra OD=OE

Vậy O nằm trên đường trung trực của DE

Mức độ nâng cao

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường trung trực của AC cắt BCI. Chứng minh rằng IA=IB=IC

Đáp án

I nằm trên đường trung trực của AC nên IA=IC

Tam giác IAC cân tại I nên \widehat{A_1}=\widehat{C}

Ta lại có \widehat{A_1} phụ \widehat{A_2}\widehat{C} phụ \widehat{B} nên \widehat{A_2}=\widehat{B} suy ra IA=IB

Từ (1)(2) suy ra IA=IB=IC

Ví dụ trên cho thấy trong tam giác vuông trung điểm của cạnh huyền là giao điểm của ba đường trung trực

<< Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳngTính chất ba đường cao của tam giác >>