Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài này là bài số 51 trong 56 bài của series Tự học Toán 7

Kiến thức cơ bản

Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện

Trên hình

Các đoạn thẳng AM, BN, CP là các đường trung tuyến của \Delta ABC. Các đường thẳng AM, BN, CP cũng gọi là các đường trung tuyến của \Delta ABC

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \dfrac{2}{3} độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy

Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác

Ta có G là trọng tam của \Delta ABC

AG=\dfrac{2}{3}AM

BG=\dfrac{2}{3}BN

CG=\dfrac{2}{3}CP

Sai lầm cần tránh

Cho đường tròn (O) đường kính BC cố định bằng 6~cm. Điểm A chuyển động trên đường tròn. Gọi M là trung điểm của AC, điểm I thuộc đoạn thẳng BMBI=\dfrac{2}{3}BM. Tập hợp các điểm I là đường nào

Sai Đúng
Tập hợp các điểm I là đường tròn (B, \dfrac{2}{3}BM) Tập hợp các điểm I là đường tròn (O, 1~cm)

Sai lầm do độ dài BM thay đổi nên đường tròn (B, \dfrac{2}{3}BM) không xác định

Xem thêm Quỹ tích

Câu hỏi trắc nghiệm

Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC. Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC nếu

a) G thuộc đường thẳng AMGM=\dfrac{1}{2}GA

b) G thuộc tia MAAG=\dfrac{2}{3}AM

c) G thuộc đoạn thẳng AMMG=\dfrac{2}{3}AM

d) G thuộc tia MAMG=\dfrac{1}{2}AG

Hãy chọn phương án đúng

Đáp án

d)

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

1) Cho tam giác ABC có đường thằng trung tuyến BD=3~cm, đường trung tuyến CE=4,5~cm. Tính độ dài BC (đơn vị cm) biết độ dài đó là một số tự nhiên lẻ

Đáp án

Gọi G là giao điểm của BDCE nên theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác. Ta có

BG=\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{2}{3}.3=2~cm

CG=\dfrac{2}{3}CE=\dfrac{2}{3}.4,5=3~cm

Theo quan hệ giữa ba cạnh của tam giác GBC

Ta có CG-BG<BC<CG+BG tức là 3-2<BC<3+2 hay 1<BC<5

Do BC là số lẻ nên BC=3~cm

2) Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM và trong tâm G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm IK sao cho MI=MG, IK=IG. Gọi N là trung điểm của CK. Chứng minh rằng ba điểm B, I, N thẳng hàng

Đáp án

Tam giác KBCKM là đường trung tuyến và IM=\dfrac{1}{2}IG=\dfrac{1}{2}IK nên I là trọng tâm

Do đó BI đi qua trung điểm N của CK

Vậy ba điểm B, I, N thẳng hàng

Mức độ nâng cao

Cho tam giác ABCBC=34~cm, đường trung tuyến BD=24~cm và đường trung tuyến CE=45~cm. Gọi G là giao điểm của BDCE. Tính độ dài các cạnh của tam giác GDE

Tìm cách giải

Vẽ hình chính xác ta phát hiện BD \perp CE

Đáp án

G là trọng tâm của \Delta ABC nên theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác. Ta có

BG=\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{2}{3}.24=16~cm

CG=\dfrac{2}{3}CE=\dfrac{2}{3}.45=30~cm

Tam giác GBCGB^2+GC^2=16^2+30^2=1156=34^2=BC^2 nên \widehat{BGC}=90^o (định lí Py-ta-go đảo)

Tam giác GDE vuông có

GD=\dfrac{1}{2}BG=\dfrac{1}{2}.16=8~cm

GE=\dfrac{1}{2}CG=\dfrac{1}{2}.30=15~cm

DE^2=GD^2+GE^2=8^2+15^2=289=17^2 nên DE=17~cm

<< Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giácTính chất tia phân giác của một góc >>