Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài này là bài số 54 trong 56 bài của series Tự học Toán 7

Kiến thức cơ bản

Nhắc lại định nghĩa đường trung trực Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó

Khi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta cũng nói AB đối xứng với nhau qua d

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó

Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó

Sai lầm cần tránh

Cho xOy khác góc bẹt và điểm A nằm trong góc đó. Vẽ các điểm BC sao cho Ox là đường trung trực của AB, Oy là đường trung trực của AC. AB cắt tia OxAC cắt tia Oy. Biết \widehat{xOy}=\alpha. Tính \widehat{BOC}

Thiếu Đủ
\widehat{BOC}=2\alpha Nếu \alpha \leq 90^o thì \widehat{BOC}=2\alpha

Nếu 90^o<\alpha<180^o thì \widehat{BOC}=360^o-2\alpha

Câu hỏi trắc nghiệm

1) Cho hình. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng khẳng định nào sai

a) AC là đường trung trực của BD

b) BD là đường trung trực của AC

Đáp án

a) Đúngb) Sai

2) Hãy nối mỗi ô của cột bên trái với một ô của cột bên phải để được khẳng định đúng

i) Tập hợp các điểm cách điểm A cố định một khoảng 2~cma) Đường trung trực của AB
ii) Tập hợp các điểm nằm trong góc A cố định và cách đều hai cạnh của góc đó là b) Đường tròn (A, 2~cm)
iii) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm AB cố định là c) Đường vuông góc với AB tại A
  d) Tia phân giác của góc A

Đáp án

i) Tập hợp các điểm cách điểm A cố định một khoảng 2~cmb) Đường tròn (A, 2~cm)
ii) Tập hợp các điểm nằm trong góc A cố định và cách đều hai cạnh của góc đó là d) Tia phân giác của góc A
iii) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm AB cố định là a) Đường trung trực của AB

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho BD=CE. Chứng minh rằng

a) AM là đường trung trực của BC

b) AM là đường trung trực của DE

Đáp án

a) AB=AC nên A thuộc đường trung trực của BCMB=MC nên M thuộc đường trung trực của BC

Vậy AM là đường trung trực của BC

b) \Delta MBD\Delta MCE

MB=MC (giả thuyết)

\widehat{B}=\widehat{C} (góc đáy tam giác cân)

BD=CE (giả thuyết)

Do đó \Delta MBD=\Delta MCE (c.g.c) suy ra MD=ME \qquad (1)

Ta có AB=ACBD=CE nên AD=AE \qquad (2)

Từ (1)(2) suy ra AM là đường trung trực của DE

Mức độ nâng cao

Cho đoạn thẳng BC và đường thẳng d là đường thẳng song song với BC. Vẽ điểm K sao cho d là đường trung trực của BK. Gọi A là giao điểm của dKC

Chứng minh rằng trong các tam giác A'BCA' nằm trên đường thẳng d thì tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

Đáp án

Theo tính chất đường trung trực của đoạn thẳng ta có AM=AK, A'B=A'K

Chu vi \Delta ABC bằng BC+AB+AC=BC+AK+AC=BC+KC \qquad(1)

Với điểm A' bất kì thuộc d ta có chu vi \Delta A'BC bằng BC+A'B+A'C=BC+A'K+A'C \qquad (2)

Mặt khác với ba điểm A', K, C ta có KC \leq A'K+A'C \qquad (3)

Từ (1), (2)(3) suy ra BC+AB+AC \leq BC+A'K+A'C tức là chu vi \Delta ABC \leq chu vi \Delta A'BC

<< Tính chất ba đường phân giác của tam giácTính chất ba đường trung trực của tam giác >>