Tứ giác nội tiếp

Bài này là bài số 39 trong 45 bài của series Tự học Toán 9

Kiến thức cơ bản

Định nghĩa

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn

Định lí

Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối bằng 180^o

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

– Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm

– Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau

– Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180^o

– Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện

Sai lầm cần tránh

SaiĐúng
Nếu tứ giác ABCDhình bình hành thì nó không là tứ giác nội tiếpMột hình bình hành là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi nó là hình chữ nhật hoặc hình vuông

Câu hỏi trắc nghiệm

1) Cho hình bên dưới. Điền vào chỗ trống (…)

a) ABCD là tứ giác nội tiếp \Leftrightarrow \widehat{DAC}=\dots

b) ABCD là tứ giác nội tiếp \Leftrightarrow \widehat{ABC}=\dots

c) ABCD là tứ giác nội tiếp \Leftrightarrow IA.IC=\dots

d) ABCD là tứ giác nội tiếp \Leftrightarrow MA.MB = \dots

Đáp án

a) \widehat{DBC}b) \widehat{ADM}c) IB.IDd) MD.MC

2) Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng khẳng định nào sai

a) Một hình thang nội tiếp được khi và chỉ khi nó là hình thang cân

b) Một hình thang vuông nội tiếp được khi và chỉ khi nó là hình chữ nhật

c) Một hình thoi nội tiếp được khi và chi khi nó là hình vuông

d) Một hình chữ nhật nội tiếp được khi và chỉ khi nó là hình vuông

Đáp án

a) Đúngb) Đúngc) Đúngd) Sai

Ví dụ minh họa

Mức độ cơ bản

1) Cho tam giác ABC các tia phân giác của các góc trong BC và gặp nhau tại S, các đường phân giác của các góc ngoài BC gặp nhau tại E

a) Chứng minh rằng BSCE là tứ giác nội tiếp và ba điểm A, S, E thẳng hàng

b) Gọi M là trung điểm của SE. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đáp án

a) BS, BE là các tia phân giác của hai góc kề bù nên BS \perp BE. Tương tự CS \perp CE

Tứ giác BSCE\widehat{SBE} + \widehat{SCE} = 90^o + 90^o = 180^o nên BSCE là tứ giác nội tiếp

ASAE đều là tia phân giác của góc BAC nên A, S, E thẳng hàng

b)

Cách 1 M là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE nên \widehat{C_1} =\dfrac{1}{2}\widehat{M_1}

Ta lại có \widehat{C_1}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB} nên \widehat{M_1} = \widehat{ACB} \qquad (1)

Chứng minh tương tự ta được \widehat{M_2}=\widehat{ABC} \qquad (2)

Từ (1)(2) ta có \widehat{M_1}+\widehat{M_2}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}

Suy ra \widehat{M_1}+\widehat{M_2}+\widehat{BAC}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180^o (tổng các góc của \Delta ABC)

Tứ giác ABMC\widehat{A} + \widehat{BMC} = 180^o nên điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC

Cách 2 Cũng chứng minh như Cách 1 ta được \widehat{M_1} = \widehat{ACB}

Tứ giác ABMC\widehat{M_1} = \widehat{ACB} nên là tứ giác nội tiếp. Vậy điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC

2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) trong đó các tia DACB cắt nhau ở E, các tia ABDC cắt nhau ở F. Tia phân giác của góc AEB cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng

a) Tam giác FMN là tam giác cân

b) Các tia phân giác của các góc AEBBFC vuông góc với nhau

Đáp án

a) Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có \widehat{M_1}=\widehat{E_1}+\widehat{B_1}, \widehat{N_1}=\widehat{E_2}+\widehat{D}

Ta lại có \widehat{E_1}=\widehat{E_2} (giả thuyết), \widehat{B_1}=\widehat{D} (cùng bù với \widehat{ABC}) nên \widehat{M_1}=\widehat{N_1}

Vậy tam giác FMN cân tại F

b) Gọi H là giao điểm của các tia phân của các góc AEBBFC. Tam giác FMN cân tại F nên đường phân giác FH cũng là đường cao

Vậy FH  \perp EH

3) Cho đường tròn (O) đường kính BC dây EF vuông góc với BC~(\stackrel{\frown}{FB}=\stackrel{\frown}{FC}). Gọi M là điểm thuộc cung BE. A là giao điểm của EMBC, D là giao điểm của CMFB. Chứng minh rằng

a) ABMD là tứ giác nội tiếp

b) AD song song với EF

Đáp án

a) BC \perp EF nên \stackrel{\frown}{CE}=\stackrel{\frown}{CF} (tính chất đường kính vuông góc với dây)

Suy ra \widehat{M_1}=\widehat{B_1} (tính chất góc nội tiếp)

Ta lại có \widehat{M_1}=\widehat{M_2}, \widehat{B_1}=\widehat{B_2} (đối đinh) nên \widehat{M_2}=\widehat{B_2}

Tứ giác ABMD\widehat{M_2}=\widehat{B_2} nên là tứ giác nội tiếp

b) ABMD là tứ giác nội tiếp nên \widehat{BMD}+\widehat{BAD}=180^o. Ta lại có \widehat{BMC}=90^o nên \widehat{BMD}=90^o. Suy ra \widehat{BAD}=90^o

AD \perp ACEF \perp AC nên AD \parallel EF

Mức độ nâng cao

1) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) đường kính AI. Gọi E là trung điểm của AB, K là trung điểm của OI. Chứng minh rằng AEKC là tứ giác nội tiếp

Đáp án

Cách 1

Tam giác ABC cân tại A nên đường kính AI là đường trung trực của BC

\Delta AKB = \Delta AKC~(c.c.c) nên \widehat{B_1}=\widehat{C_1} \qquad (1)

AE = EB nên OE \perp AB. Ta lại có IB \perp AB nên OE \parallel IB. Kẻ KH \perp BE. Hình thang OEBIOK = KIKH \parallel OE \parallel IB nên H là trung điểm của EB

Tam giác KBE có đường cao KH là đường trung tuyến nên là tam giác cân

Suy ra \widehat{B_1}=\widehat{E_1} \qquad (2)

Từ (1)(2) suy ra \widehat{C_1}=\widehat{E_1} do đó AEKC là tứ giác nội tiếp

Cách 2

Xét \Delta EAC\Delta KOC ta có \widehat{EAC} = \widehat{KOC} (cùng bằng \dfrac{1}{2}\widehat{BOC})

\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{OK}{OC} (cùng bằng \dfrac{1}{2})

Suy ra \Delta EAC \sim \Delta KOC~(c.g.c) do đó \widehat{AEC} = \widehat{OKC} tức là \widehat{AEC} = \widehat{AKC}

Tứ giác AEKC\widehat{AEC} = \widehat{AKC} nên là tứ giác nội tiếp

2) Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn (O). AB \parallel CD, điểm O nằm trong hình thang, \widehat{AOD} = 90^o. Biết hình thang có chiều cao bằng h. Tính diện tích hình thang

Đáp án

Góc nội tiếp ACD bằng nửa góc ở tâm AOD nên \widehat{ACD} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOD} = \dfrac{1}{2}.90^o = 45^o

Kẻ AHBK vuông góc với CD. Tam giác vuông AHC\widehat{ACH} = 45^o nên CH = AH = h

Ta có CD + AB = CK + HK + HD + AB = 2CK + 2HK = 2CH = 2h

Suy ra S_{ABCD}=\dfrac{CD+AB}{2}.AH=\dfrac{2h}{2}.h=h^2

<< Cung chứa gócĐường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp >>